最新差分方程Z变换 [汇编整理]

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1、第 3 章 线性离散时间系统的描述及分析 差分方程及其时域分析 3 1 1 差分方程 3 1 2 差分方程的解 A递推解 B古典解 CZ变换求解 Z变换 3 2 1 Z变换的定义 3 2 2 Z变换的性质 3 2 3 Z反变换 A长除法 B留数法 C部分分式法 离散时间系统的Z域分析 3 3 1 零输入响应 3 3 2 零状态响应 3 3 3 完全响应 Z传递函数及其求法 3 4 1 Z传递函数的定义 3 4 2 离散系统的运算 3 4 3 由 G s 求 G z 连续时间系统的离散化 A对 G s 的讨论 B对离散化方法的评价 C 留数法 D直接代换法 E系统等效法 冲击响应不变法 F系统等

2、效法 阶跃响应不变法 G部分分式法 3 4 4 离散化方法小结 线性离散时间系统的稳定性分析 3 5 1 闭环极点与输出特性之间的关系 3 5 2 稳定判据 线性离散时间系统的频率特性分析法 3 6 1 线性离散时间系统的频率特性 3 6 2 线性离散时间系统的频率特性分析法 第 3 章 线性离散系统的描述及分析 3 1 差分方程及其时域分析 3 1 1 差分方程 在线性离散时间动态系统中 输入激励序列 u k 与输出响应序列y k 之间的 动态关系在时域中用差分方程来描述 差分方程一般写成升序方式 11 011 01 1 1 1 1 1 0 0 1 1 nn mm n y kna y kna

3、y ka y k b u kmbu kmbu kb u k k yyyyy ny mn K K 有始性 初始条件 时间因果律 或写成 m i n j ji jnkyaimkubnky 01 上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值 当 0 0 bmn 以及此前若干个输入和输出值有关 推论开来 当前的输出值是 此前 全部激励和内部状态共同作用的 积累 效应 考虑实时控制系统的时间因果律 必须有m n 当m n时 表明当前时刻的输入会直接影响当前时刻的输出 可称为 直传 当 m n 时 表明当前时刻的输入不会直接影响当前时刻的输出 当前时刻 的输入对输出的影响会延时 n m 拍 差

4、分方程也可以写成降序方式 式中各项序号均减n 121 011 1 2 1 1 1 nn mm y ka y ka y kay kna y kn b u kbu kbu kmb u km K K 在降序方式中的 n 和 m 与升序方式中的 n 和 m 的含义不完全相同 因而对 n 和 m 并无限制 在降序方式中 当b0 0 时 相当于升序方式中m n 的情况 此时 当前时 刻的响应与当前时刻的输入有关 升序意味着超前 与连续时间系统中的微分相对应 当用Z 变换法求解差 分方程时 升序方式便于考虑初始条件 降序意味着滞后 与连续时间系统中的积分相对应 当用Z 变换法求解差 分方程时 降序方式无法考

5、虑初始条件 3 1 2 差分方程的解 例 已知差分方程 51 2 1 1 0 5 66 x kx kx kr kr k 其中 r k 1 k 0 x 0 1 x 1 2 试由迭代法求其全解的前5 项 分别由古典法求其零输入解yzi k 零状态解 yzs k 以及全解 y k 给定一个差分方程 根据特定的输入时间序列u k 和初始条件 来求得其 输出序列 y k 一般有三种方法 A 递推解 迭代解 对式差分方程可以写成 m i n j ji jnkyaimkubnky 01 显然给定初始条件后 就可依次求出各点值 但是 式差分方程中的n 个初始条件 x 0 x 10 x n 1 仅仅是指 零输

6、入初始条件 进行递推求解时的初始条件应该是 全解初始条件 因而应该 先求出其 零状态初始条件 全解初始条件 是 零输入初始条件 与 零 状态初始条件 之和 上例 已知零状态初始条件 由此可递推求得零输入解yzi k 可求零输入初始条件 由此可递推求得零状态解yzs k 以上 初 始 条 件之 和 为 全 解初 始 条 件 由 此 递 推即 可 直 接 求 得 全 解 y k yzi k yzs k B 古典解法 1 零输入解 在式中令输入为零 即u k 0 k 0 则得齐次方程 01 1 11 kyakyankyanky nn 类似于在解线性常微分方程时定义的微分算子p 对差分方程定义一个移序

7、 增序 算子 d 即 nkykyd nkykyd n n 于是式可以表示成 1 1 1 0 nn nn da d aday kA d y k 以多项式 A d 存在 n 个单根为例 即 1 0 1 2 n ii i A ddddin 则有零输入解 yzi k 的 通解 式为 zi1122 1 n kkkk nnii i ykC dC d C dC dk0 其中 C1 C2 C n是由 n 个 另输入 初始条件决定的n 个待定常数 设给定初始条件为y i yi i 0 1 n 1 分别代人上式可得 10 2112 222 212 111 112 111 n n3 nnn nnn Cy Cydd

8、d ydd dC ydd dC 可简记为矩阵方式 0 YDC 以 n 个单根为例 矩阵D 一定可逆 于是可得待定常数为 1 0 CDY 当 A d 存在重根时 亦可得相应结果 不再赘述 上例 求得零输入解yzi k 2 零状态解 当 零输入初始状态 为零时 为求得式在任意输入u k 激励下的 零状态 响应 yzs k 首先考虑单位脉冲激励u k k 的特殊情况 此时的系统响应为 单位脉冲响应 记为h k 式成为 11 011 1 1 1 1 nn mm h kna h knah ka h k bkmbkmbkbk 可写成如下形式 00 mn ij ij h knbkmia h knjmn 上式

9、中依次令 k n n 1 2 1 0 可求得前面 n 1个点的结果 0 1 1 0 1 1 n n hh hh h nh h nh 当 m0时 在式中恒有k m i 0 即恒有 k m i 0 此时式又成为一个齐 次方程 等价为 11 12 1 1 0 0 1 2 nn n h kna h knah ka h k k hh hhh nh 上式按差分方程的零输入解法求解 并考虑 h 0 0 即可得到式的单位脉冲 响应序列 h k k 0 对于一个一般的输入序列u k u 0 u 1 u 2 可以写成 0 0 1 1 i u ku ikiukuk 按照线性系统的迭加原理 k 1 所激励的响应为h

10、k i 1 k i i 0 1 于是可得 u k 激励下的响应为 00 0 1 1 1 1 1 0 0 kk ii y kuh kkuh kku k h u i h kiu ki h i u kh kk 称为 u k和 h k的 卷和 显然 卷和的定义与连续时间函数的卷积具有类似的形式 卷和计算例 上例 求得零状态解yzsi k 3 全解 1 和 2 二者之和 上例 y k yzi k yzs k C Z变换解法 后面再讲 3 2 Z变换 3 2 1Z 变换的定义 Z变换是对离散序列定义的 设有 0 1 0 1 1 2 2 0 y kyy ykykykk 则 y k 的 Z变换定义为 单边 罗

11、朗级数 1 0 0 1 i i Y zyyz y i z z Z变换域变量 d 增序算子 两者在数字上具有完全相同的表现形式 但意义却不同 不能混淆 就像 s S变换域 拉氏变换 变量 p 微分算子 二者表现形式相同 但意义截然不同 为什么要定义 Z变换 Z变换把离散 等距时间点上 数值序列变换成有理分式 L变换把连续时间信号变换成有理分式 便于利用代数学的某些结论进行简单处理 Z变换的另一种 定义 对于时域信号 y t f t 采样得离散信号y t 记得第 1 章中讨论过 y t 和 y k 的 冲量的 等价性 0 2 2 0 k kTtkTf TTTfTtTftftf 取其拉氏变换 得 0

12、 k kTs ekTftfLsF 再令 Ts ez 即得 0 k k zkTftfZzF 二者的结果是一致的 但是 二者有两点区别 前者是对 y k 定义的 后者是对y t 定义的 在离散时间系统中使用前 者更符合工程实际 但是 对于首先熟悉了Laplace变换的工程技术人员而言 后者更容易理解 前者在数学上是严格的 而后者中的式容易使得误解z 和 s 之间的关系 实时上 z和 s之间并没有式所示的关系 仅仅是有时同一个被控对象的Z变换传 递函数和 L变换传递函数的特征根具有那个关系 3 2 2Z 变换的性质 A 在简单的情况下 可直接按定义求得y k 的 Z变换 Y z 0 1 i i Zk

13、i z 1 00 1 1 1 11 ii ii z Zki zz zz 1 00 1 1 kTiTiTi TT ii z Z eezez zeez 做为线性离散系统的Z变换 它有许多与 L 变换类似的性质 不同的是按照 Z变换的定义 这些性质更容易被证明一些 B 线性迭加性质 已知1122 Z fkF z Z fkFz a bR 下同 按定义可得 121 1212 2 Z af kbfkZ af kZ bfk aZ f kbZ fkaF zbF z C 增序性质 对应于 L变换的微分性质 设 g k f k n k 0 为什么 00 11 00 1 00 12 0 1 2 1 k k 0 jj

14、nn jj nn ininin inii n nin i ii nnn Z f kn Z g kg k z fjn zfjn zz f i z zf i z zf i z z zf i zf i z z F zz fzf z f nzf n 令 i j n 注意两点 一是为什么要减去前面几项因为按照定义g k 中没有这几项 二是与 L变换的微分性质相比 形式上多了一个 z D 减序性质 对应于 L变换的积分性质 设 g k f k n k 0 为什么 00 1 0 inin ii njnj jnj n Z f knf in zzf in z zfj zzfj z zF z 令 i n j 为什

15、么第一项没啦 因为按照定义 f k 中的这几项为零 E 卷和性质 对应于 L变换的卷积性质 1212 Z f hfhF z Fz F 初值性质 0 0 lim lim kz ff kF z 证明 按照Z变换的定义 G 终值性质 1 11 lim lim 1 lim 1 kzz ff kzF zzF z 当 f k 不收敛 F z 中有单位圆外极点 时 终值性质不能使用 证明 0 1 0 1 0 1 1 i i Zf k f kz F zfF zz F zzf Zf k f kf i f iz 同令 z 1 得 1 lim 1 0 1 0 2 1 1 z z F z f f ff ff k f

16、k f 其它略 3 2 3Z 反变换 已知 F z 有理分式 求 f k 使得 Z f kF z 记为 1 Z f kF z A 长除法 罗朗级数展开 如果 F z 是有理分式 必可展开为罗朗级数 如果 F z 是真有理分式 必可展开为 单边 罗朗级数 有始函数 即有 f k k 0 如果 F z 是严格真有理分式 则一定有f 0 0 例 B 留数法 在实时离散控制系统中有f k k 0 则一定有 01 0 0 1 k k F zfzfz f k z 按照复变函数的留数理论 考虑如下围线 逆时针包围含全部极点 积分 11 CC 0 1111 C 1212 C 1 C 0 1 1 1 0 1 1 1 2 kik i kkkk kk F z zdzf i z zdz ffz f kzf k zf kz zdz fzfz f kf k zf kz dz f k z dzjf k 留数是如何定义的 1 C 1 2 k f kF z zdz j 称为 1 k F z z的留数 于是有 111 1 Z Res Res i n kk z i f kF zF z zF z z 即 1 k f kF z