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1、上海市静安区2018 届高三二模数学试卷 一 填空题 本大题共12 题 1 6 每题 4 分 7 12 每题 5 分 共 54 分 1 已知集合 1 3 5 7 9 A 0 1 2 3 4 5 B 则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是 2 若复数z满足 1 2zii i是虚数单位 则 z 3 函数lg2yx 的定义域为 4 在从 4 个字母a b c d中任意选出2 个不同字母的试验中 其中含有字母d事件 的概率是 5 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图 则h 6 如上右图 以长方体 1111 ABCDA BC D的顶点 D 为坐标原点 过D的三条棱所在的直线
2、为坐标轴 建立空间直角坐标系 若 1 DB uuu r 的坐标为 4 3 2 则 1 BD uuu r 的坐标为 7 方程 3 cos2 2 x的解集为 8 已知抛物线顶点在坐标原点 焦点在y轴上 抛物线上 一点 4 M a 0 a到焦点 F的距离为5 则该抛物线的 标准方程为 9 秦九韶是我国南宋时期数学家 他在所着的 数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法 至今仍是比较先进的算 法 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例 若输入n x 的值分别为4 2 则输出q 的值为 在算法语言中用 表示乘法运算符号 例如5 210 10 已知等比数列 n a 的前n项和为n S n N 且 6 3 19
3、 8 S S 42 15 8 aa 则3 a的 值为 11 在直角三角形ABC中 2 A 3AB 4AC E为三角形ABC内一点 且 2 2 AE 若AEABAC uu u ruu u ruuu r 则34的最大值等于 12 已知集合 2 20 Ax yxyxy 222 2 1 2 a Bx yxayaa 若ABI 则实数a取值范围为 二 选择题 本大题共4 题 每题5 分 共 20 分 13 能反映一组数据的离散程度的是 A 众数B 平均数C 中位数D 方差 14 若实系数一元二次方程 2 0zzm有两虚数根 且 3 那么实数m 的值是 A 5 2 B 1 C 1D 5 2 15 函数 si
4、n f xAx 0 0 A的部分 图像如图所示 则 3 f 的值为 A 2 2 B 3 2 C 6 2 D 0 16 已知函数 3 10f xxx 实数 1 x 2 x 3 x满足 12 0 xx 23 0 xx 31 0 xx 则 123 f xf xf x的值 A 一定大于 30 B 一定小于30 C 等于 30 D 大于 30 小于 30 都有可能 三 解答题 本大题共5 题 共 14 14 14 16 18 76 分 17 某峡谷中一种昆虫的密度是时间 t的连续函数 即函数图像不间断 昆虫密度C是指 每平方米的昆虫数量 已知函数 2 1000 cos 4 2 990 816 2 081
5、624 t t C t mtt或 这里的t是从午夜开始的小时数 m是实常数 8 mC 1 求m的值 2 求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻 18 已知椭圆的中心在坐标原点 长轴在x 轴上 长轴长是短轴长的2 倍 两焦点分别为 1F和2F 椭圆上一点到1F和2F的距离之和为12 圆 22 24210 k AxykxykR 的圆心为 k A 1 求 12k A F F的面积 2 若椭圆上所有点都在一个圆内 则称圆包围这个椭圆 问 是否存在实数k 使得圆 k A包围椭圆请说明理由 19 如图 四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形 AC与BD交于点O OP底面ABCD 点M为PC中点 2AC
6、1BD 2OP 1 求异面直线AP与BM所成角的余弦值 2 求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值 20 已知数列 n a中 1 aa 1 2 aR a 1 11 2 1 nn aa nn n 2n nN 又数列 n b满足 1 1 nn ba n nN 1 求证 数列 nb是等比数列 2 若数列 n a是单调递增数列 求实数a的取值范围 3 若数列 n b的各项皆为正数 1 2 log nn cb 设 n T是数列 n c的前n和 问 是否存 在整数a 使得数列 n T 是单调递减数列若存在 求出整数 a 若不存在 请说明理由 21 设函数 27 1f xxax a为实数 1 若1a
7、解不等式 0f x 2 若当0 1 x x 时 关于x的不等式 1f x成立 求a的取值范围 3 设 21 1 x g x ax 若存在x使不等式 f xg x成立 求a的取值范围 参考答案 一 填空题 1 0 2 4 2 23 1 4 1 2 5 4 6 4 3 2 7 5 12 x xkkZ8 2 4xy 9 50 10 9 4 11 1 12 19109 0 14 二 选择题 13 D 14 A 15 C 16 B 三 解答题 17 解 1 2 8 1000 cos0 2 9908010mC 4 分 2 当cos 8 1 2 t时 C达到最小值 得 8 2 1 2 tkkZ 8 分 又
8、8 16 t 解得10t或 14 所以在 10 00 或者 14 00 时 昆虫密度达到最小值10 14 分 18 解 1 设椭圆方程为 22 22 1 0 xy ab ab 1 分 由已知有212 2aab 2 分 所以椭圆方程为 22 1 369 xy 3 分 圆心 2 k Ak 5 分 所以 12k A F F的面积 12 12 11 6 326 3 22 kK A F FA SF Fy 6 分 2 当0k时 将椭圆椭圆顶点 6 0 代入圆方程得 22 601202115120kk 可知椭圆顶点 6 0 在圆外 10 分 当0k时 22 6 01202115120kk 可知椭圆顶点 6
9、0 在圆外 所以 不论k取何值 圆 k A都不可能包围椭圆 14 分 19 解 1 因为ABCD是菱形 所以ACBD 又OP底面ABCD 以O为原点 直线 OA OB OP分别为 x轴 y轴 z 轴 建立如图所示空间直角坐标系 1 分 则 1 0 0 A 1 0 0 2 B 0 0 2 P 1 0 0 C 1 0 1 2 M 所以 1 0 2 AP uuu r 11 1 22 BM u uu u r 5 2 AP BM u uu r uu uu r 5AP uuu r 6 2 BM uuuu r 3分 则 530 cos 6 56 AP BM AP BM APBM uuu r uu uu r
10、uuu r uuu u r uuu ruuuu r 故异面直线AP与BM所成角的余弦值为 30 6 6 分 2 1 1 0 2 AB uu u r 11 1 22 BM uuuu r 设平面 ABM 的一个法向量为 nx y z r 则 0 0 n AB n BM ruuu r ruuuu r 得 1 0 2 11 0 22 xy xyz 令2x 得4y 3z 得平面 ABM 的一个法向量为 2 4 3 n r 9分 又平面 PAC的一个法向量为 1 0 0 2 OB u uu r 10 分 所以 n r 2OB uu u r 29n r 1 2 OB uuu r 则 44 cos 29 29
11、 29 n OB n OB nOB r u uu r r uu u r ruu u r 故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为 4 29 29 14 分 20 解 1 11 11111111 22 1 1 111 nnn aaa nnn nnnnnn 11 21 22 nn aa nn 2 分即 1 2 n n b b 3 分 又 11 11 22 baa 由 1 2 a 则 1 0b 所以 n b是以 1 1 2 ba为首项 2 为公比的等比数列 4 分 2 11 2 2 n n ba 所以 111 2 21 n n aa n 6 分 若 n a是单调递增数列 则对于 nN 1 0
12、nn aa恒成立 7 分 1 1 1111 22 2221 nn nnaaaa nn 1111 2 212 n a nn 111 2 2 1 2 n a nn 8 分 由 111 20 2 1 2 n a nn 得 1 11 22 1 2 n a nn 对于 nN 恒成立 1 1 2 1 2 n nn 递增 且 1 1 0 2 1 2 n nn 1 1 lim 0 2 1 2 n n nn 所以 1 0 2 a 又 1 2 a 则 1 2 a 10 分 3 因为数列 n b的各项皆为正数 所以 1 0 2 a 则 1 2 a 1 12 2 11 log 2 1log 22 n n cana 1
13、3 分 若数列 n T是单调递减数列 则 21 TT 即 222 111 2log 1log log 1 222 aaa 即 11 22 a 所以 1 0 2 a 不存在整数a 使得数列 n T是单调递减数列 16 分 21 解 1 由 0f x得271xx 1 分 解不等式得 8 6 3 x xx或 4 分 利用图像求解也可 2 由0 1 x x 解得01x 由 1f x得 27 0 xax 当01x时 该不等式即为 2 70ax 5 分 当 2a时 符合题设条件 6 分 下面讨论2a的情形 当2a时 符合题设要求 7 分 当2a时 7 2 x a 由题意得 7 1 2a 解得25a 综上讨论 得实数a 的取值范围为 5a a 10 分 3 由 21 21 1 1 x g xxa x a x 12 分 代入 f xg x得 27 2 1 1xxa 令 27 2 1 1h xxx 则 6 1 7 410 1 2 7 4 2 x h xxx x 7 4 1 6 2 hh xh min 4h x 15 分 若存在x使不等式 f xg x成立 则 min 4h xaa即 18 分
