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1、 3 2频域图象增强 3 2 1傅里叶变换3 2 2频域增强1 低通滤波2 高通滤波3 带通和带阻滤波4 同态滤波5 频域技术与空域技术 3 2 1傅里叶变换 问题的提出 图像变换的特点在于其有精确的数学背景 是许多图像处理技术的基础 图像变换是将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间 并利用输入图像在这些空间的特有性质有效而快速地对图像进行处理和分析 图像变换是对图象信息进行变换 使能量保持但重新分配 以利于加工 处理 滤除不必要信息 如噪声 加强 提取感兴趣的部分或特征 傅里叶变换在图像分析 滤波 增强 压缩等处理中都有着非常重要的应用 图像变换的目的及应用 图像变换的目的 处
2、理起来更有效更方便更快捷 f x y g x y 傅立叶变换 Fourierhadcrazyidea 1807 TimeandFrequency 信号的分解 时域 频域 频域 信号的分解 时域 信号的分解 频域 时域 信号的分解 频域 时域 信号的分解 频域 时域 一维离散付立叶变换对 F u 是复函数 可以写成 F u R u jI u F u exp j u 正变换 逆变换 离散傅立叶变换 DFT 简介 F u 称为f x 的傅立叶频谱 u 称为相位角 Fourier基函数 1 2 7 0 4 8 12 16 a 正弦分量 前1 2 1 2 4 5 6 7 0 4 8 12 16 b 余弦
3、分量 前1 2 例 DFT的计算 一维函数的四个采样值为f 0 2 f 1 3 f 2 f 3 4 f x 全部值对FT都产生影响 反之 全部变换系数对反变换也产生影响 2 二维离散付立叶变换 正变换 逆变换 式中 g x y u v 和h x y u v 分别称为正向变换核和反向变换核 写成一般形式 基图像的概念 h x y u v 称为基图像 任何一种变换都定义了一组基本函数 二维情况也把基本函数称为基本图像 构成变换空间的基 正变换是对信号进行分解 变换获得信号在基函数上的投影 变换系数是各基函数在信号中占有的量 反变换是一个合成过程 通过将各个分量相加来合成原始信号 因此 二维反变换是
4、通过一组被适当加权的基图像求和而重构原图象 变换矩阵中的每个元素就是其对应的基本图像在求和时所乘的倍数 变换的物理意义 正变换 反变换 我们想分解图像中的快变与慢变成分 一个非常好的分解方法 可以将图像变换看作若干个图像的加权和 加权系数F u v 为 图像函数及傅立叶频谱 图像函数 灰度图 频谱 实际图像及傅立叶频谱 频域增强是首先经过傅里叶变换 将图像从空间域变换到频域 然后在频域根据想突出的有用的信息 或想削弱或抑制信息 的需要 对频谱进行处理 再将其反变换到空间域 从而得到增强后的图像 3 2 2频域增强 假定原图像f x y 经傅立叶变换为F u v 频域增强就是选择合适的滤波器函数
5、H u v 对F u v 的频谱成分进行调整 然后经逆傅立叶变换得到增强的图像g x y 该过程可以通过下面流程描述 其中 G u v H u v F u v H u v 称为传递函数或滤波器函数 系统H u v 输入f x y 输出g x y 频域增强 可以通过选择合适的频率传递函数H u v 来突出f x y 的某一方面的特征 从而得到需要的图像g x y 如 利用传递函数H u v 突出高频分量 以增强图像的边缘信息 即高通滤波 如果突出低频分量 就可以使图像显得比较平滑 即低通滤波 频域滤波的主要步骤 1 对原始图像f x y 进行傅里叶变换得到F u v 2 将F u v 与传递函数
6、H u v 进行卷积运算得到G u v 3 将G u v 进行傅里叶逆变换得到增强图g x y 频域滤波的核心在于如何确定传递函数 即H u v 高频分量对应图像边缘 噪音 变化陡峭部分 低频对应变化平缓部分 u v 频域滤波原理 频域增强与空域增强的关系 在实践中 小的空间模板比傅立叶变换用的多得多 因为它们易于实现 操作快捷 对于很多在空域上难以表述清楚的问题 对频域概念的理解就显得十分重要 如压缩 频域滤波低通滤波高通滤波带通滤波同态滤波 图像从空间域变换到频率域后 其低频分量对应图像中灰度值变化比较缓慢的区域 高频分量则表征图像中物体的边缘和随机噪声等信息 低通滤波是指保留低频分量 而
7、通过滤波器函数H u v 减弱或抑制高频分量的在频域进行的滤波 低通滤波与空域中的平滑滤波器一样可以消除图像中的随机噪声 减弱边缘效应 起到平滑图像的作用 1 低通滤波 Lowpassfilters 下面介绍几种常用的频率域低通滤波器 D0是一个非负整数 D是从点 u v 到频率平面原点的距离即 理想低通滤波器的含义是指小于D0的频率 即以D0为半径的圆内的所有频率分量可以完全无损地通过 而圆外的频率 即大于D0的频率分量则完全被除掉 1 理想低通滤波器二维理想低通滤波器的传递函数如下 理想低通滤波器的含义是指小于D0的频率 即以D0为半径的圆内的所有频率分量可以完全无损地通过 而圆外的频率
8、即大于D0的频率分量则完全被除掉 理想低通滤波器的平滑作用非常明显 但由于变换有一个陡峭的波形 它的反变换h x y 有强烈的振铃特性 使滤波后图像产生模糊效果 因此这种理想低通滤波实用中不能采用 振铃 现象 H u v h x y 理想低通过滤器振铃效果 理想低通滤波器的一种特性 理想低通过滤器的截止频率的设计 低通滤波的能量和D0的关系 能量在变换域中集中在低频区域 以理想低通滤波作用于N N的数字图像为例 其总能量 当理想低通滤波的D0变化时 通过的能量和总能量比值必然与D0有关 而可表示u v的通过能量百分数 一个以频域中心为原点 r为半径的圆就包含了百分之 的能量 根据对保留能量的要
9、求来确定滤波器的截止频率 r 5 r 11 r 22 r R D0 100 r 100 R D0时 频域低通滤波所产生的模糊示例 r 5 r 45 r 11 90 95 99 99 5 尽管只有10 的 高频 能量被滤除 但图像中绝大多数细节信息都已丢失了 当仅5 的高频能量被滤除后 图像中仍有明显的振铃效应 2 巴特沃斯 Butterworth 低通滤波器巴特沃斯低通滤波器的传递函数为 D0为截止频率 n为函数的阶 一般取使H u v 最大值下降到最大值的0 5时的D u v 为截止频率D0 Butterworth低通过滤器的截面图 H u v 作为D u v D0的函数的截面图 n 1 n
10、 3 Butterworth低滤波效果 Z6 bmp Lowpass4 m D0 5 D0 11 D0 22 D0 45 n 2 Butterworth低通过滤器的分析在任何经BLPF处理过的图像中都没有明显的振铃效果 这是过滤器在低频和高频之间的平滑过渡的结果低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来减少干扰效果的修饰过程 Butterworth低通过滤器的分析BLPF处理过的图像中都没有振铃效果 3 梯形低通滤波器 特点 结果图像的清晰度较理想低通滤波器有所改善 振铃效应也有所减弱 应用时可调整D1值 既能达到平滑图像的目的 又可以使图像保持足够的清晰度 原图像 傅里叶频谱 D0 5 能量的9
11、0 D0 11 能量的95 D0 45 总能量的99 D0 22 总能量的98 合理的选取D0是应用低通滤波器平滑图像的关键 4 指数低通滤波器 一般取使H u v 最大值下降至原来的1 2时或时的D u v 为截止频率D0 n 1 n 3 特点 指数低通滤波器从通过频率到截止频率之间没有明显的不连续性 而是存在一个平滑的过渡带 指数低通滤波器实用效果比Butterworth低通滤波器稍差 但仍无明显的振铃现象 n 3 图像的边缘 细节主要在高频 图像模糊是由于高频成分较弱产生的 为了消除模糊 突出边缘 可以采用高通滤波的方法 使低频分量得到抑制 从而达到增强高频分量 使图像的边沿或线条变得清
12、晰 实现图像的锐化 2 高通滤波 Highpassfilters 1 理想高通滤波器 IdealHighpassFilters 理想高频滤波器传递函数 2 梯形高通滤波器 GHPF D1 D0 3 巴特沃思 Butterworth 高通滤波器 BHPF n 3 4 指数高通滤波器 EHPF n 3 三种高通滤波器比较 IHPF BHPF EHPF IHPF BHPF EHPF IHPF滤波效果 D0 15 30 80 D0越小 振铃效应越明显 BHPF 比IHPF的结果平滑得多 EHPF滤波效果 四种高通滤波器比较 理想高通有明显振铃 图像的边缘模糊不清 Butterworth高通效果较好 振
13、铃不明显 但计算复杂 指数高通效果比Butterworth差些 但振铃也不明显 梯形高通的效果是微有振铃 但计算简单 故较常用 在某些情况下 信号或图像中的有用成分和希望除掉的成分主要分别出现在频谱的不同频段 这时允许或阻止特定频段通过的传递函数就非常有用 3 带阻滤波 Bandstopfilter 与带通滤波 Bandpassfilter 带阻滤波 干扰的领域图形多为 u0 v0 和 u0 v0 两点成对出现 如图所示 可在点 u0 v0 和 u0 v0 某个圆形邻域D处设计带阻滤波器 即抑制以 u0 v0 为中心 D0为半径的邻域中所有频率都阻止通过的滤波器 它的滤波函数为 若消去围绕原点
14、的一个径向频带 理想的带阻滤波器函数为 式中W为阻带的宽度 D0为阻带的中心半径 D0 W 式中W为阻带的宽度 D0为阻带的中心半径 带通滤波器 与带阻滤波器互补允许一定频率范围 阻止其它频率范围 Hp u v 可用带阻滤波器HR u v 公式表示 HP u v HR u v 1 a 被正弦噪声污染的图像 b 图像 a 的频谱 c 巴特沃思带阻滤波器 d 滤波效果 4 同态滤波 Homomorphicfiltering 问题提出 物体受到照度明暗不匀的时候 图象上对应照度暗的部分 细节难辨别 4 同态滤波 Homomorphicfiltering 若照度为i x y 反射系数为r x y 则
15、同态滤波的目的 消除不均匀照度的影响而又不损失图象细节 成像模型 依据 图象的灰度由照射分量和反射分量合成 反射分量反映图象内容 随图象细节不同在空间上作快速变化 照射分量在空间上通常均具有缓慢变化的性质 因此认为 照射分量的频谱落在空间低频区域 反射分量的频谱落在空间高频区域 但在频率域中不能直接对照度场和反射系数场频率分量分别进行独立的操作 即 如果定义 这里I u v R u v 分别是lni x y 和lnr x y 的傅里叶变换 同态滤波就是利用上式的形式将图像中的照明分量和反射分量分开 这样滤波函数就可以分别作用在这两个分量上 根据图像中的照明分量具有变化缓慢的特征 而反射分量则倾
16、向于剧烈变化的持征 图像的自然对数的傅里叶变换的低频分量与照明分量相联系 而其高频分量则与反射分量相联系 根据这一性质 可以设计一个对傅立叶变换高频和低频分量影响不同的滤波器 如图 H u v 一方面减弱了低频另一方面加强了高频 1 两边取对数 2 两边取付氏变换 3 用一频域函数H u v 处理F u v 4 反变换到空域 5 两边取指数 同态滤波处理步骤 特点 能消除乘性噪声 能同时压缩图象的整体动态范围和增加图象中相邻区域间的对比度 同态滤波流程图 典型曲线 效果示例 HL 0 5 HH 2 0 3 2 6频域技术与空域技术 空间滤波器的工作原理可借助频域进行分析空间平滑滤波器消除或减弱图象中灰度值具有较大较快变化部分的影响 这些部分对应频域中的高频分量 所以可用频域低通滤波来实现空间锐化滤波器消除或减弱图象中灰度值缓慢变化的部分 这些部分对应频域中的低频分量 所以可用频域高通滤波来实现 空域中的平滑滤波器在频域里对应低通滤波器频域 空域的宽窄有什么关系 频域 空域 频域越宽 空域越窄 平滑作用越弱频域越窄 空域越宽 模糊作用越强 空域中的锐化滤波器在频域里对应高通滤波器频域 空
