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1、FIR 数字滤波器设计与实现一.摘 要：数字滤波器是一种具有频率选择性的离散线性系统，在信号数字处理中有着广泛的应用。其中 FIR 滤波器是一种常用的滤波器，它在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到严格的线性相位特性，在语音分析、图像处理、雷达监测等对信号相位要求高的领域有着广泛的应用，能实现 IIR 滤波器不能实现的许多功能。二.关键词：FIR 窗函数 系统函数 MATLAB三.内容提要：数字滤波器的功能就是把输入序列通过一定的运算变换成输出序列，因此数字滤波器的结构系统中就必须包括一定数量和性能的运算器件和运算单元，而运算器件和运算单元的配置必须由数字滤波器的结构特点和性能特点来决定
2、，因此在进行 FIR 数字滤波器的设计之前，有必要介绍和总结 FIR 数字滤波器的基本结构和相关特性（包括频响曲线（幅度和相位），单位冲激响应等），在介绍完其基本结构和相关特性后，就进行 FIR 数字滤波器的设计和实现。（一） FIR 滤波器的基本结构在讨论任何一种滤波器时，都要着重分析其系统函数，FIR 滤波器的系统函数为：。从该系统函数可看出，FIR 滤波器有以下特点：nNnzhzH10)()(1)系统的单位冲激响应 h(n)在有限个 n 值处不为零；2)系统函数 H(z)在|z|0 处收敛，极点全部在 z=0 处(稳定系统)；3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中
3、(例如频率抽样结构)也包含有反馈的递归部分。1.FIR 滤波器实现的基本结构有：1） 横截型（卷积型、直接型）a.一般 FIR 滤波器的横截型 (直接型、卷积型) 结构：若给定差分方程为：。 则可以直接由差分方程得出 FIR 滤波器结构如下图所示：这就是 FIR 滤波器的横截型结构，又称直接型或卷积型结构。b.线性相位 FIR 滤波器的横截型结构若 h(n)呈现对称特性，即此 FIR 滤波器具有线性相位，则可以简化成横截型结构，下面分情况讨论： N 为奇数时线性相位 FIR 滤波器实现结构如图所示： N 为偶数时线性相位 FIR 滤波器实现结构如图所示我们知道 IIR 滤波器的优点是可利用模拟
4、滤波器设计的结果，缺点是相位是非线性的，若需要线性相位，则要用全通网络进行校正，比较麻烦，而 FIR 滤波器的优点是可以方便地实现线性相位。2)、级联型将 H(z)分解为若干个实系数一阶或二阶因子相乘：实现结构如下图所示：该结构图中有 2L=M 个延迟器，2L+1=M+1 个乘法器，2L=M 个加法器。分析 H(z)及结构图可以得出级联型的特点：每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点。系数比直接型多，所需的乘法运算多。3）频率取样型若 FIR 滤波器的冲激响应为有限长(N 点)序列 h(n)，则有如图所示的关系：2L=M 个延迟器，2 L+1=M+1 个乘法器，2 L=M 个加法器特
5、点：可以分别控制每个子系统的零点Lkkkzhz12,1, )(0)(12 L1212x k y k z 1zh 0 1z 因此，对 h(n)可以利用 DFT 得到 H(k)，然后利用内插公式：来表示系统函数，这就为 FIR 滤波器提供了另外一种结构：频率抽样结构，这种结构由两部分级联而成：分析系统函数其中级联的第一部分为： 这是一个梳状滤波器，它滤掉了频率及其各次谐波。级联的第二部分为 N 个一阶网络并联而成，第 k 个一阶网络为：它在单位圆上有一个极点： 这是一个谐振频率的无损耗谐振器。这个谐振器的极点正好与梳状滤波器的一个零点(i=k)相抵消，从而使这个频率上的频率响应等于 H(k)。这样
6、，N 个谐振器的 N 个极点就和梳状滤波器的 N 个零点相抵消，从而在 N 个频率抽样点上的频率响应就分别等于N 个 H(k)值。有上叙的理论分析基础可以得到 FIR 滤波器的频率抽样结构。FIR 滤波器的频率抽样结构如图所示：频率抽样结构的特点是它的系数 H(k)就是滤波器在处的响应，因此控制滤波器的频率响应很方便。频率抽样结构存在问题的问题是：在有限长情况下，系数量化后极点不能和零点抵消，使FIR 系统不稳定。解决方法：在 r 圆上进行(r2/N，W R()在-c, c内近似包含全频域的值，所以，H(0)H d(0)； =c 时，一半重叠，H(c)/H(0)=0.5； =c-2/N 时，第
7、一旁瓣（负数）在通带外，出现正肩峰； =c+2/N 时，第一旁瓣（负数）在通带内，出现负肩峰。 由最后的频响函数图我们可以看到， 在通带截止频率的两旁 = c的地方，H()出现最大正负肩峰值； 在这两个肩峰之间形成一个过渡带，过渡带的宽度等于 WR()的主瓣宽度。在最大肩峰的两侧，则形成长长的余振； 看公式其中 x=N/2,所以 N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，最多只能改变 WR（）的绝对值大小和起伏的密度，当 N 增加时，幅值拉高，频率轴变密，而最大肩峰经计算可知总为8.95%，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。 肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器
8、的性能有很大的影响。 为了改善滤波器的这些特性，只有改变窗函数的形状，标准为：窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； 相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。 但实际上这两个标准不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。 窗口法的优点是简单，有闭合的公式可用，性能及参数都有表格资料可查，计算程序简单，较为实用。缺点是当 较为复杂时， 就不容易由反付里叶变换求得。)(jwdeH)(nhd边界频率因为加窗的影响而不易控制。（2）频率取样法工程上，常给定频域上的技术指标，所以采用频域设计更直接。 一、基本思想：使所设计
9、的 FIR 数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其他频率处的特性则有较好的逼近。 二.设计方法：1）确定2）计算 h(n)3）计算 H(Z)三、 约束条件 ：为了设计线性相位的 FIR 滤波器，采样值 H（k）要满足一定的约束条件。 前已指出,具有线性相位的 FIR 滤波器，其单位采样响应 h(n)是实序列，且满足 h(n)=+/-h(N-1-n)，由此得到的幅频和相频特性，就是对 H(k)的约束。（见 P101，表 4.1）。例如，要设计第一类线性相位 FIR 滤波器，即 N 为奇数，h(n)偶对称，则 幅度函数 H（）应具有偶对称性； 令 由
10、此可得， 必须取为： 而 必须满足对称性： kHknkH同样，若要设计第二种线性相位 FIR 滤波器，N 为偶数，h(n)偶对称，相位关系同上，由于幅度特性是奇对称的， 因此，H k也必须满足对称要求： knkH其他两种线性相位 FIR 数字滤波器的设计，同样也要满足幅度与相位的约束条件。 四、设计误差 :FIR 设计步骤： 给定指标 或 H（z） 关心的是，由上述设计过程得到的 与 H（k）的逼近程度，以及 与 H（k）的关系。 令 ，则 单位圆上的频响为： 这是一个内插公式，式中 为内插函数令 则 所以，在每个采样点上，频响 严格地与理想特性 H(k)一致，在采样点之间，频响由各采样点的内
11、插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大，在理想频率响应的不连续点会产生肩峰和波纹。N增加，则采样点变密，内插误差减小。 （3）.切比雪夫逼近法除了窗函数设计法（时间窗口法）和频率采样法，还可以用切比雪夫逼近法设计 FIR滤波器，且切比雪夫逼近法是一种等波纹逼近法，在用切比雪夫逼近法设计 FIR 滤波器时，需要用到雷米兹（Remez）交替算法，并且需要遵从两个准则：均方误差最小准则和最大误差最小化准则。雷米兹（Remez）交替算法：能很好的解决通带截止频率 和阻带截止频率 不能精确控制的问题。下图就是雷米兹（Reme
12、z）交替算法的流程图(三). 算例描述基于窗函数的 FIR 数字滤波器设计的方法十分简单，其主要步骤为：（1） 对滤波器的理想特性进行傅立叶逆变换获得理想滤波器的单位脉冲响应 h(n)（2） 由性能指标确定窗函数 W(n)和窗口长度 N，由过度带宽近似于窗函数主瓣宽求得窗口长度 N（3） 求得实际滤波器的单位脉冲响应 h(n)（4） 检验滤波器的性能下面举例说明：例 1：用窗函数法设计一个线性相位 FIR 低通滤波器，并满足性能指标。通带边界频率，阻带边界频率 ，阻带衰减不小于 40 通带波纹不大于 3 。5.0p6.0ws ,dBdB由题意，阻带衰减不小于 40 ，选取汉宁窗。dB用 MAT
13、LAB 编程如下：% MATLAB PROGRAM eg-1% Window-based FIR filter design%Perfoment parameterwp =0.5*pi;ws=0.66*pi;%Width of transition band wdelta =ws-wp;%Length of the filterN= ceil(8*pi/wdelta)if rem(N,2)=0N=N+1;end% Length of the windowNw =N;%Cutoff Frequency of the filterwc =(wp+ws)/2;%Compute impulse res
14、ponse of ideal filter n =0: N-1;alpha =(N-1)/2;m =n-alpha+0.00001;hd =sin(wc*m)./(pi*m);%Compute time response of the Hanning Windowwin =hanning(Nw);%Compute acture impulse response of the filterh=hd.*win;b=h; freqz(b,1,512)程序运行即得所设计 FIR 线形相位滤波器频率特性。如图所示：该例题运用了上叙步骤进行编程，其实在 MATLAB 里，信号处理工具箱提供了基于上叙原理设
15、计标准型 FIR 滤波器的工具函数 FIR1，函数 FIR1 是采用经典窗函数设计线性相位 FIR 数字滤波器的函数，其调用格式为：b=fir1(n, n) b=fir1(n, n,ftype)b=fir1(n, n,window)b=fir1(n, n,ftype,windows)下面的程序就是调用工具函数 FIR1 对上题进行重新编程% MATLAB PROGRAM eg-1% Window-based FIR filter design%Perfoment parameterwp =0.5*pi;ws=0.66*pi;%Width of transition band wdelta =ws-wp;%Length of the filterN= ceil(8*pi/wdelta)%Cutoff Frequency of the filterWn=(0.5+0.66)*pi/2;%usingFIR1Design the filterb=fir1(N,Wn/pi,hanning(N+1);freqz(b,1,512)由上可知，用函数 FIR1 设计的 FIR 数字滤波器在通带内具有很好的线性相位特性例二：设计一个 24 阶 FIR 带通滤波器，通带频率为 0.350.65利用工具函数 FIR1 编
