《高二数学高三新课：数学归纳法及其应用举例（理）人教版知识精讲（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学高三新课：数学归纳法及其应用举例（理）人教版知识精讲（通用）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高二数学高三新课 数学归纳法及其应用举例 理 高二数学高三新课 数学归纳法及其应用举例 理 人教版人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 高三新课 数学归纳法及其应用举例 二 本周教学重 难点 数学归纳法证明命题的步骤 1 证明当取第一个值 如取或 2 等 时结论正确 n 0 n1 n 2 假设当 时结论正确 证明当时结论也正确 kn Nk 0 nk 1 kn 由此可以断定 对于任意不小于的正整数 命题都正确 0 nn 典型例题典型例题 例 1 用数学归纳法证明 nnnnn2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 证明 证明 1 当时 左边 右边 命题成立
2、1 n 2 1 2 1 1 2 1 2 假设当命题成立 即 kn 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 kkkk k2 1 则当时 左边n1 k 12 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 kkk 22 1 k 22 1 12 1 2 1 2 1 1 1 kkkkk 12 1 3 1 2 1 kkk 所以时命题成立 1 2 1 1 1 1 22 1 kkk 1 kn 由 1 和 2 知 命题对一切正整数均成立 例 2 已知数列 计算猜想 13 23 1 107 1 74 1 41 1 nn 4321 SSSS 的表达式 并用数学归纳法进行证明 n S 证明
3、证明 4 1 41 1 1 S 7 2 74 1 4 1 2 S 10 3 107 1 7 2 3 S 13 4 1310 1 10 3 4 S 于是可以猜想 13 n n Sn 下面用数学归纳法来证明 1 当时 左边1 n 4 1 1 S 右边 4 1 113 1 13 n n 猜想成立 2 假设当时 猜想成立 即kn 74 1 41 1 13 13 23 1 107 1 k k kk 那么 当时1 kn 13 23 1 107 1 74 1 41 1 kk 1 1 3 2 1 3 1 kk 43 13 143 43 13 1 13 2 kk kk kkk k 1 1 3 1 43 13 1
4、 13 k k kk kk 所以当时猜想也成立 1 kn 例 3 用数学归纳法证明 能被 64 整除 983 22 n n Nn 证明 证明 1 当时 能被 64 整除 假设 能被1 n64983 22 kn 983 22 k k 64 整除 2 当时 1 kn898399 1 83 222 1 2 kk kk 1 64 983 9 22 kk k 与 64 均能被 64 整除983 22 k k 及也能被 64 整除 所以时 命题成立 由 983 9 22 k k 1 64 k1 kn 1 2 可知时 命题成立 Nn 例 4 平面内有条直线 其中任何两条不平行 任何三条不共点 求证 这条直线
5、把nn 平面分割成个区域 2 2 1 2 nn 证明 证明 1 当 时 一条直线把平面分成两个区域 又 所以1 n2 211 2 1 2 时命题成立 1 n 2 假设时 命题成立 即条满足题意的直线把平面分割成了kn k 个区域 那么当时 条直线中的条把平面分成了 2 2 1 2 kk1 kn1 kk 个区域 第条直线被这条直线分成部分 每部分把它们所在的 2 2 1 2 kk1 kk1 k 区域分成了两块 因此增加了个区域 所以条直线把平面分成了1 k1 k 22 1 2 1 1 2 2 1 kkkk 个区域 所以时命题也成立 根据 1 2 知 对一切的 2 1 k1 kn Nn 此命题均成
6、立 例 5 数列的通项公式 设 试求 n a 2 1 1 n an 1 1 1 21n aaanf 的值 推导出的公式 并证明 4 3 2 1 ffff nf 证明 证明 4 3 2 1 11 1 2 1 af 6 4 1 1 2 21 aaf 8 5 1 1 1 3 321 aaaf 10 6 1 1 1 1 4 4321 aaaaf 猜想 证明如下 1 2 2 n n nf 1 当时 公式成立1 n 4 3 11 2 21 4 3 1 f 2 假设时成立 即kn 1 2 2 k k kf 那么 1 1 1 k akfkf 2 1 1 1 2 2 2 kk k 2 2 2 1 2 1 2 2
7、 k k k k 1 1 2 2 1 k k 由 1 2 可知 对任何都成立 1 2 2 n n nf Nn 例 6 对一切大于 1 的自然数 证明 n 2 12 12 1 1 5 1 1 3 1 1 n n 证明 证明 1 当时 2 n 2 5 3 4 3 1 1 2 假设时命题成立 即 那 2 kkn 2 12 12 1 1 5 1 1 3 1 1 k k 么当时 1 kn 12 1 1 12 1 1 5 1 1 3 1 1 kk 12 1 1 2 12 k k 只需证明 只要证明 12 1 k k 2 1 1 2 12 1 k k k 384484 22 kkkk 此式显然成立 故当时
8、不等式仍然成立 1 kn 由 1 2 知 对一切 不等式均成立 2 nNn 例 7 是否存在常数 使等式ba 1 3 2 2 3 1 21 nnnnn 对一切自然数都成立 并证明你的结论 2 6 1 1bnannn n 解 解 令 得 令 得 整理得1 n 1 1 6 1 1ba 2 n 2 2 6 2 4ba 解得 8 2 5 baab baab 2 1 ba 下面用数学归纳法证明等式 2 1 2 3 1 21nnnn 1 n 当时 等式成立 假设时 等式成立 即 2 1 6 1 nnn1 nkn 则当 1 21 kk 2 1 6 1 12 1 2 3 kkkkkk 时 1 kn 2 1 3
9、 1 1 2 1 1kkk 1 1 23 1 kkk2 1 2 3 1 21 kkkk 1321 1 kkk 这表明当时 3 2 1 6 1 2 1 2 1 2 1 6 1 kkkkkkkk1 kn 等式成立 由 可知 等式对一切都成立 n N 例 8 某地区原有森林木材存量为 且每年增长率为 25 因为生产建设的需要 每年a 年底要砍伐的木材量为 设为年后该地区森林木材存量 b n an 1 求的表达式 n a 2 为保护生态环境 防止水土流失 该地区每年的森林木材量应不少于 如果a 9 7 那么该地区今后会发生水土流失吗 若会 需要经过几年 取 ab 72 19 30 0 2lg 解 解
10、1 依题意得 babaa 4 5 4 1 1 1 bbabaa 4 5 4 5 4 5 12 ba 1 4 5 4 5 2 babaa 1 4 5 4 5 4 5 4 5 23 23 由此猜想 baa nnn n 1 4 5 4 5 4 5 4 5 21 ba nn 1 4 5 4 4 5 Nn 下面用数学归纳法进行证明 当时 猜想成立 假设当1 nbaa 4 5 1 时 猜想都成立 即 那么当时 kn baa kk k 1 4 5 4 4 5 1 kn kk aa 4 5 1 即当时 猜想 4 5 bbba kk 1 4 5 4 4 5 ba kk 1 4 5 4 4 5 11 1 kn 仍
11、成立 由 可知 对任意的自然数猜想都成立 2 当时 若该地区今nab 72 19 后发生水土流失 则森林木材存量必须少于 所以 a 9 7 a n 4 5 1 4 5 4 n aa 9 7 72 19 整理得 两边取对数得 所以5 4 5 n 5lg 4 5 lg n 2lg25lg 5lg n 所以经过 8 年该地区就开始水土流失 7 3 031 30 0 1 2lg31 2lg1 模拟试题模拟试题 一 选择 1 用数学归纳法证明时 从 312 2 1 n nnnn 12 Nnn 到 左边需增乘的代数式是 nk 1 kn A B C D 12 k 1 12 k k 12 2 k 1 32 k
12、 k 2 用数学归纳法证明 在验证时 左 12 1 n aaa 1 1 1 2 a a a n 1 n 端计算所得的项为 A B C D 1a 1 2 1aa 32 1aaa 3 用数学归纳法证明 且 时 第一步即n n 12 1 3 1 2 1 1 Nn 1 n 证下列哪个不等式成立 A B C D 21 2 2 1 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 1 4 用数学归纳法证明 当为正奇数时 能被整除 的第二步应是 n nn yx yx A 假设时正确 再推时正确12 kn32 kn B 假设时正确 再推时正确12 kn12 kn C 假设时正确 再推时正确kn 1 kn D 假设时正确
13、 再推时正确 1 kkn2 kn 5 空间中有个平面 它们中任何两个不平行 任何三个不共线 设个这样的平面把nk 空间分成个区域 则个平面把空间分成的区域数 kf1 k 1 kfkf A B C D 1 kk1 kk2 6 用数学归纳法证明 且 时 由 12 1 3 1 2 1 1 n n Nn 1 n 不等式成立推证时不等式成立时 左边应增加的项数是 kn 1 k1 kn A B C D 1 2 k 12 kk 212 k 7 记凸边形的内角和为 则凸边形的内角和 k kf1 k 1 kfkf A B C D 2 2 3 2 8 在应用数归纳证明凸边形的对角线成为条时 第一步验证 n 3 2
14、 1 nn n A 1 B 2 C 3 D 0 二 解答题 1 用数学归纳法证明 33 22 11nn 1 1 Nnn 2 平面内有个圆 其中每两个圆都相交 每三个或三个以上的圆都不交于同一点 求n 证 它们把平面分成个部分 2 2 nn 3 求证 n 321 1 321 1 21 1 1 1 2 Nn n n 试题答案试题答案 一 1 C 2 C 3 C 4 B 5 A 6 C 7 B 8 C 二 1 证明 1 当时 有左边 右边 左边 右边 所以1 n1 11 1121 11 等式成立 2 假设当时等式成立 即 Nkkn 1 1 33 22 11 kkk 当时 有 1 kn 1 1 1 1
15、 1 33 22 11 kkkkkk 所以时等式 1 k1 2 1 2 1 1 1 1 1 kkkkk1 kn 也成立 由 1 2 知 等式对一切都成立 Nn 2 证明 1 当时 1 个圆把平面分成个部分 当时 命题成立 1 n22 2 nn1 n 2 假设时 个圆将平面分成个部分 则当时 1 kknk 2 2 kk1 kn 新增加的一个圆与前个圆有个交点 这些点把新圆周分成段 每段把它穿过的区kk2k2 域又分成两部分 因此增加了个部分 于是个圆将平面分成k21 kkkk2 2 2 个部分 即时 命题成立 2 1 1 2 kk1 kn 由 1 2 知命题对任何正整数均成立 n 3 证明 由于是与正整数有关的等式 因此可以用数学归纳法证明 1 当时 左边 1 右边 左边 右边 所以等式成立 1 n1 11 12 2 假设当 时等式成立 kn Nk 即 1 2 321 1 21 1 1 k k k 当时 1 kn k 321 1 321 1 21 1 1 1 321 1 kk 1 2 1 321 1 1 2 k k kkk k 2 1 2 1 2 2 11 1 1 kkk k kk 2 1 1 2 2 1 2 2 2 k k kk k k 1 1 1 2 k k 即当时 等式成立 根据 1 和 2 可知 等式对任何都成立 1 kn Nn
