《高二数学解析几何综合复习资料：直线与圆锥曲线的位置关系旧人教版（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学解析几何综合复习资料：直线与圆锥曲线的位置关系旧人教版（通用）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高二数学寒假辅导资料（5）直线与圆锥曲线的位置关系一、基础知识：（1）位置关系的判定：将直线方程和圆锥曲线方程联立。消去一个未知数，进而转化为一元二次方程，利用_判断直线与圆锥曲线_、_、_的情况。（2）判断直线与圆的位置关系时，最常用的方法是利用圆心到直线的距离和_的大小关系。（3）弦长公式：斜率为k的直线被圆锥直线截得的弦AB，若、，则： =_=_ =_=_二、基础练习：1、双曲线的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，则的周长是（ C ）（A）6 （B）5 （C） （D）2、已知双曲线C：，过点P（1，1）作直线，使与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有 (
2、D ) （A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条3、过抛物线的焦点F作倾斜角为直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与轴交于点P，则线段PF的长等于（ A）（A） （B） （C） （D）4、设F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两点，且是正三角形，则该正三角形的边长等于（ D）（A） （B） （C） （D）5、相交于A、B两点，该椭圆上的点P使得PAB的面积等于6，这样的点P有 （ A）（A）1 个 （B）2个 （C）3 个 （D）4个三、典型例题：例1 设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，过点的直线交椭圆E于A、B两点，且，求当的面积达到最大值时直线和椭圆E
3、的方程.则，当，即时，面积取最大值，此时，即，所以，直线方程为，椭圆方程为.【答案】【方法与技巧】利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例2：抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 00)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.（）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；（）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.思路分析：将直线方程和抛物线方程组
4、成的方程组转化为一元二次方程，用韦达定理来求解.解：（）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为（）证明：设直线的方程为，直线的方程为点和点的坐标是方程组的解将式代入式得，于是，故又点和点的坐标是方程组的解将式代入式得于是，故由已知得，则设点的坐标为，由，则将式和式代入上式得，即线段的中点在轴上（）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为由式知，代入得将代入式得，代入得因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为，于是，因为钝角且、三点互不相同，故必有求得的取值范围是或又点的纵坐标满足，故当时，；当时，即点评：解析几何解题思维方法比较简单，但对运算能力的要求比较高，平时练习要注意提高自己的运算能力
5、.例3 过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程 思路分析： 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解；解法二，用韦达定理 解法一 由e=,得,从而a2=2b2,c=b 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12y
6、22)=0,设AB中点为(x0,y0)，则kAB=，又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是=1，kAB=1，设l的方程为y=x+1. 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y),由点(1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2= 所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=x+1 解法二 由e=,从而a2=2b2,c=b 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= 直线l y=x过AB的中点(),则,解得k
7、=0，或k=1 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一 点评：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题，成为解决本题的关键.注意在设直线方程时要对直线斜率是否存在进行讨论.四、巩固练习 (1)与直线2x-y+4=0平行的抛物线y= x2的切线方程是 ( D )A、2x-y+3=0 B、2x-y-3=0 C、2x-y+1=0 D、2x-y-1=0(2) 已知x、yR, 集
8、合A=(x, y)| x2-y2=1, B=(x, y)| y=t(x+2)+2,若AB是单元素集合, 则t值的个数是 ( C )A、0 B 、1 C、 2 D、 3 (3) 设双曲线 (0a)的线段AB的端点在双曲线b2x2-a2y2=a2b2的右支上, 则AB中点M的横坐标的最小值为 . (13) 设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求： （）动点P的轨迹方程； （）的最小值与最大值. (13) （）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 的解.将代入并化简得
9、，所以于是设点P的坐标为则消去参数k得 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 . 得，所以 当时，有 并且 将代入并整理得 . 当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，2），这时点P的坐标为（0，0）也满足，所以点P的轨迹方程为（）解：由点P的轨迹方程知所以故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为(14) 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1.（）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；（）当时，APQ的内心恰好是点M，求此双曲
10、线的方程.(14) 解: ()由条件得直线AP的方程即因为点M到直线AP的距离为1,即.解得+1m3或-1m1-. m的取值范围是()可设双曲线方程为由得.又因为M是APQ的内心,M到AP的距离为1,所以MAP=45,直线AM是PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1。因此，（不妨设P在第一象限）直线PQ方程为。直线AP的方程y=x-1,解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，所以所求双曲线方程为 即 (15)椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.（）求椭圆的方程及离心率；（）若，求直线PQ的方程；（）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明:.(15)（）解：由题意，可设椭圆的方程为.由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率.（）解：由（1）可得A（3，0）.设直线PQ的方程为.由方程组得依题意，得.设，则， . 由直线PQ的方程得.于是. ，. . 由得，从而.所以直
