《高二数学理导数—平均变化率与瞬时变化率苏教版（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学理导数—平均变化率与瞬时变化率苏教版（通用）（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高二数学理高二数学理导数导数 平均变化率与瞬时变化率平均变化率与瞬时变化率苏教版苏教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 导数 平均变化率与瞬时变化率 二 本周教学目标 1 了解导数概念的广阔背景 体会导数的思想及其内涵 2 通过函数图象直观理解导数的几何意义 三 本周知识要点 一 平均变化率 1 情境 观察某市某天的气温变化图 t d 20 30 34 2 10 20 30 A 1 3 5 B 32 18 6 0 C 34 33 4 T 2 10 2 一般地 函数 f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率 21 21 f xf x xx 平均变化率是曲线陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程
2、度是平均变化率 视觉化 二 瞬时变化率 导数 1 曲线的切线 如图 设曲线 c 是函数的图象 点是曲线 c 上一点 奎屯 王新敞 新疆作割线 PQ yf x 00 P xy 当点 Q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P 割线 PQ 无限地趋近于某一极限位置 PT 奎屯 王新敞 新疆我们就把 极限位置上的直线 PT 叫做曲线 c 在点 P 处的切线 奎屯 王新敞 新疆 y f x x y Q MP x O y 割线 PQ 的斜率为 即当时 PQ k 00 f xxf x x 0 x 无限趋近于点 P 的斜率 00 f xxf x x 2 瞬时速度与瞬时加速度 1 瞬时速度定义 运动物体经过某一时刻
3、 某一位置 的速度 叫做瞬时速度 2 确定物体在某一点 A 处的瞬时速度的方法 要确定物体在某一点 A 处的瞬时速度 从 A 点起取一小段位移 AA1 求出物体在这段 位移上的平均速度 这个平均速度可以近似地表示物体经过 A 点的瞬时速度 当位移足够小时 物体在这段时间内的运动可认为是匀速的 所得的平均速度就等于 物体经过 A 点的瞬时速度 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识 现在已经知道物体做直线运动时 它 的运动规律用函数表示为 s s t 也叫做物体的运动方程或位移公式 现在有两个时刻 t0 t0 t 现在问从 t0到 t0 t 这段时间内 物体的位移 平均速度各是 位移为 s s
4、 t0 t s t0 t 称时间增量 平均速度 t tstts t s v 00 根据对瞬时速度的直观描述 当位移足够小 现在位移由时间 t 来表示 也就是说时 间足够短时 平均速度就等于瞬时速度 现在是从 t0到 t0 t 这段时间是 t 时间 t 足够短 就是 t 无限趋近于 0 当 t 0 时 位移的平均变化率无限趋近于一个常数 那么称这个常数为 00 s tts t t 物体在 t t0的瞬时速度 奎屯 王新敞 新疆 同样 计算运动物体速度的平均变化率 当 t 0 时 平均速度 00 v ttv t t 无限趋近于一个常数 那么这个常数为在 t t0时的瞬时加速度 00 v ttv t
5、 t 3 导数 设函数在 a b 上有定义 若无限趋近于 0 时 比值 xfy 0 xa b x 无限趋近于一个常数 A 则称 f x 在 x 处可导 并称该常 x xfxxf x y 00 0 x 数 A 为函数在处的导数 记作 xfy 0 xx 0 fx 几何意义是曲线上点 处的切线的斜率 xfy 00 xfx 导函数 导数 如果函数在开区间内的每点处都有导数 此时对于 xfy ba 每一个 都对应着一个确定的导数 从而构成了一个新的函数 称 bax xf xf 这个函数为函数在开区间内的导函数 简称导数 也可记作 xf xfy y 典型例题典型例题 例例 1 水经过虹吸管从容器甲中流向容
6、器乙 t s 后容器甲中水的体积 单位 计算第一个 10s 内 V 的平均变化率 t tV 1 0 25 3 cm 解 解 在区间 0 10 上 体积 V 的平均变化率为 10 0 2 55 0 25 10010 VV 3 cm 即第一个 10s 内容器甲中水的体积的平均变化率为 0 25 3 cm 例例 2 已知函数 分别计算在区间 3 1 0 5 上函 21f xx 2g xx 数及的平均变化率 f x g x 解 解 函数在 3 1 上的平均变化率为 f x 1 3 2 1 3 ff 在 3 1 上的平均变化率为 g x 1 3 2 1 3 gg 函数在 0 5 上的平均变化率为 f x
7、 5 0 2 50 ff 在 0 5 上的平均变化率为 g x 5 0 2 50 gg 例例 3 已知函数 分别计算函数在区间 1 3 1 2 1 1 1 2 f xx f x 1 1 001 上的平均变化率 解 解 函数在区间 1 3 上的平均变化率为 f x 3 1 4 3 1 ff 函数在 1 2 上的平均变化率为 f x 2 1 3 2 1 ff 函数在 1 1 1 上的平均变化率为 f x 1 1 1 2 1 1 1 1 ff 函数在 1 1 001 上的平均变化率为 f x 1 001 1 2 001 1 001 1 ff 例例 4 物体自由落体的运动方程 s s t gt2 其中
8、位移单位 m 时间单位 2 1 s g 9 8 m s2 求 t 3 这一时段的速度 解 解 取一小段时间 3 3 t 位置改变量 s g 3 t 2 1 2 g 32 6 t t 平均速度g 6 t 奎屯 王新敞 新疆 2 1 2 g 2 1 t s v 当 t 无限趋于 0 时 无限趋于 3g 29 4 m s v 例例 5 已知质点 M 按规律 s 2t2 3 做直线运动 位移单位 cm 时间单位 s 1 当 t 2 t 0 01 时 求 t s 2 当 t 2 t 0 001 时 求 t s 3 求质点 M 在 t 2 时的瞬时速度 分析 分析 s 即位移的改变量 t 即时间的改变量
9、即平均速度 当 t 越小 求 t s 出的越接近某时刻的速度 t s 解 解 4t 2 t t ttt t tstts t s 32 3 2 22 1 当 t 2 t 0 01 时 4 2 2 0 01 8 02 cm s t s 2 当 t 2 t 0 001 时 4 2 2 0 001 8 002 cm s t s 3 t0 4t 2 t 4t 4 2 8 cm s 奎屯 王新敞 新疆 例例 6 曲线的方程为 y x2 1 那么求此曲线在点 P 1 2 处的切线的斜率 以及切线 的方程 解 解 设 Q 1 2 则割线 PQ 的斜率为 x x 22 1 1 1 1 11 fxfx xx 2
10、2 2 xx x x 斜率为 20 x 切线的斜率为 2 切线的方程为 y 2 2 x 1 即 y 2x 模拟试题模拟试题 答题时间 30 分钟 1 若函数 f x 2x2 1 图象上 P 1 3 及邻近点 Q 1 x 3 y 则 x y A 4 B 4 x C 4 2 x D 2 x 2 一直线运动的物体 从时间 到时 物体的位移为 那么时 为ttt s 0t s t A 从时间 到时 物体的平均速度 B 在 时刻时该物体的瞬时速度 ttt t C 当时间为时物体的速度 D 从时间 到时物体的平均速度 奎屯 王新敞 新疆 t ttt 3 已知曲线 y 2x2上一点 A 1 2 求 1 点 A
11、 处的切线的斜率 2 点 A 处的切线 方程 4 求曲线 y x2 1 在点 P 2 5 处的切线方程 5 求 y 2x2 4x 在点 x 3 处的导数 6 一球沿一斜面自由滚下 其运动方程是 s s t t2 位移单位 m 时间单位 s 求小球在 t 5 时的瞬时速度 奎屯 王新敞 新疆 7 质点 M 按规律 s 2t2 3 做直线运动 位移单位 cm 时间单位 s 求质点 M 在 t 2 时的瞬时速度 试题答案试题答案 1 B 2 B 3 解 1 时 k 0 x 22 1 1 2 1 2 1fxfx xx 2 42 42 4 xx x x 点 A 处的切线的斜率为 4 2 点 A 处的切线方程是 y 2 4 x 1 即 y 4x 2 4 解 时 k 0 x 22 2 2 2 1 2 1fxfx xx 2 4 4 4 xx x x 切线方程是 y 5 4 x 2 即 y 4x 3 5 解 y 2 3 x 2 4 3 x 2 32 4 3 2 x 2 16 x 2 x 16 x y 时 y x 3 160 x 6 解 时 瞬时速度 v 10 t 10 0t 22 5 5 5 5stst tt m s 瞬时速度 v 2t 2 5 10 m s 7 解 时 瞬时速度 0t v 8 2 t 8cm s 22 2 2 2 2 3 2 23 stst tt
