《高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 空间距离的常见题型与解法素材 北师大版选修2-1（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 空间距离的常见题型与解法素材 北师大版选修2-1（通用）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间距离的常见题型与解法在立体几何中涉及到的距离有六种，即点与点，点到线，点到面，线与线，线与面，面与面；但归结起来都是求点与点，点到线，点到面这三种距离。一、传统方法求空间距离求距离的传统方法和步骤是：一作，二证，三计算；即先作出表示距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再计算。其中第二步的证明容易被忽视，应引起重视。求空间距离常见的题型和方法有1运用三垂线定理及逆定理求点到直线的距离【例如】平面内有是平面外一点，且到平面的距离是40，求点到的距离。APBCOD解：如图所示，作平面于，则，是的外心，又，点落在边的中点上，作于，由三垂线定理知，就是点到的距离。又且，在中，所以点到的距离为。
2、2运用两平面垂直的性质定理，求作点到面的距离【例如】如右图所示，二面角等于，平面内一点到平面的距离的长为，求点到平面的距离。AMNDC解：作于，连结，则，为二面角的平面角，则，平面，平面平面，作于，则的长为所求，在中，斜边，所以，即点到平面的距离为。ABCD3体积法求点到平面的距离【例如】如图所示，为外一点，两两互相垂直，求到平面的距离。解：由得：，因此点到平面的距离为。4解答求距离的问题，注意距离之间的相互转化，有时能取到意想不到的效果【例如】已知如图所示，边长为的菱形中，平面，是的中点，求点到平面的距离。ABCHGoDPE【分析】若直接过作平面的垂线，垂足难以确定，故考虑用间接求法，至少有
3、以下两条途径：解法一：注意到点在上，可将到平面的距离转化为到平面的距离的一半。由平面，有平面平面，故过在平面内作交于，则，于是，所求距离为。解法二：将到平面的距离转化为线面距离，再转化为点面距离，连结，设与交于点，则平面，于是直线上任意一点到平面的距离都相等，由平面，有平面平面。若过作平面，则垂足必定在上，故线段即为所求。，到平面的距离为，即到平面的距离为。二、向量法求空间距离问题1求两点间的距离方法1（向量运算法）：利用公式=求解。方法2（向量坐标法）：若P(x,y,z)，P2 (x2,y2,z2)是空间任意两点，则=。例1 如图1，已知矩形ABCD，AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形A
4、BCD折成30的二面角，求B、D两点间的距离 。 图1 解法1：设B、D在AC上的射影分别为E、F，则 BEAC，DFAC。AC=5,BE=DF=,CE=AF=,EF=AC-2AF=,又=150,=()2=+2()=+2=,=.解法2：设B、D在AC上的射影分别为E、F,则BEAC，DFAC.由解法1可知BE=DF=，EF=,过F在面ABC内作FGAC。以F为原点，直线FG、FC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系F-xyz（如图1），则B(),D(), =.2、求点到直线的距离设P是直线l外一点，Q是直线l上任意一点，若是直线l的一个与点P和直线l所确定的平面平行的法向量（与直线垂直的向量），
5、则向量在法向量方向上的射影长d=就是点P到直线l距离. 例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，GC平面ABCD，且GC=2，求点B到直线FG的距离。解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz，则G(0,0,2), E(-2,-4,0)，F(-4,-2,0)，B(0,-4,0), =(0, 4, 2), =(-4, 2,0),=(4,2,2).设=(x,y,z)是直线FG的一个与平面BFG平行的法向量,则由，得=0,即2x+y+z=0，又设=(m,n,l) 是平面BFG的法向量, 则由及，得，即 ，解之得，取n=2, 得=(1,2,-4).由，得=0,即x+
6、2y-4z=0, 由,得,取z=1, 得=(-2,3,1). 点B到直线FG的距离为d=。3求直线到与它平行的平面的距离设直线l与平面平行，是平面的法向量，P是直线L上任意一点，Q是平面内任意一点，则向量在平面法向量方向上的射影长就是直线l到平面的距离，即d=。例3：如图3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=8，AA1=6，D为AC的中点，求直线AB1到平面C1BD的距离。解：连结B1C交BC1于O，则O为B1C的中点，连结OD，则ODAB1，AB1平面BC1D.取A1C1的中点D1，则D1D面ABC，又由正三角形性质知BDAC.以D为原点，直线DB、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建
7、立空间直角坐标系Dxyz,则B、0、0、）、C1（0，4，6），A（0，-4，0）,=、0、0、）=(0、4、6、),= （0，-4，0）,设为平面BC1D的法向量，则由及，得x=0且4y+6z=0,x=0,y=,取z=2,得.d=4、求点到平面的距离设是平面的法向量，AO是平面的一条斜线段，O为斜足，则向量在平面的法向量方向上的射影长d=就是点A到平面的距离。例4已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D到平面ABC的距离。 解：设是平面ABC的一个法向量，则由及,得 -2x-2y+z=0 解之得 y= 2x+2y+5z=0， z
8、= -,取x=3,得,于是点D到平面ABC的距离为d=.例5在例2中，求点B到平面EFG的距离。解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz，则G(0,0,2),E(-2,-4,0),B(0,-4,0), F(-4, -2,0)，=(-2,-4,-2),=(-4,-2,-2),=(-2,0,0). 设平面EFG的法向量为，则由，及得-2x-4y-2z=0 x=y-4x-2y-2z=0，解之得 z= -3y ,取y=1,得,于是点B到平面EFG的距离为d= 。5求两平行平面间的距离设,是平面的法向量，P、Q分别是、内任意一点，则向量在平面法向量方向上的射影长d=就是、的距离。例6：已知正方体AB
9、CD-ABCD的棱长为a，求平面ABC与平面ADC的距离解法1：如图4，显然平面ABC平面ADC，易证DB平面ABC，所以向量是平面ABC的法向量。设，则=a，且=0，=+=-，=,平面ABC与平面ACD的距离为d=.解法2：如图4，显然平面ABC平面ADC，易证DB平面ABC，所以向量是平面ABC的法向量。建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(a,0,0),A(a,0,a),B(a,a,0), D (0,0,a).=(0,0,a),=(-a,-a,a)。 平面ABC与平面ACD的距离为d=.6求异面直线间的距离设向量是异面直线a、b的公垂线的方向向量, P、Q分别是ab上任意一点，则
10、向量在公垂线方向向量方向上的射影长即为异面直线a、b的距离，即d=。例7：已知正方体ABCD-A/B/C/D/的棱长为1，求直线DA/与AC的距离.解：建立如图5所示的直角坐标系D-xyz，则=(1,0,1)，=(0,0,1).设与DA/和AC都垂直的单位向量,则x2+y2+z2=1 ， x+z=0， y=x， 由 ，得 -x+y=0，即 z=-x.代入,得x=, d=。例8如图6，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=4，AD=3，AA1=2，M、N分别为BC1、BB1的中点，求异面直线MN与AB的距离.解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则M(,4,1)、N(0,4,1)、B(0,4,0), A1 (0,0,2), 设是MN与A1B的公垂线的方向向量, 则由及，得x=0 , 解之得 x=04y-2z=0 , z=2y,取y=1,得,又.
