《高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.4 二面角及其度量素材2 新人教B版选修2-1（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.4 二面角及其度量素材2 新人教B版选修2-1（通用）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.4 二面角及其度量课堂导学三点剖析一、利用三垂线定理及逆定理作二面角的平面角【例1】 三棱锥S-ABC中，SAB=SAC=ACB=90,AC=2,BC=,SB=,求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小.解：SAB=SAC=90，SA面ABC.AC为SC在底面ABC上的射影.又ACB=90，SCBC.SCA为二面角S-BC-A的平面角.在RtSCB中，SC=.在RtSAC中，由AC=2，SC=4，得cosSCA=.SCA=60.即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60.温馨提示 本题考查三垂线定理、线面垂直的判定、二面角度数的计算.其解法提供了一个用三垂线定理及其逆定理来作二面角
2、平面角的方法.其作法是：从半平面上一点P作另一个半平面的垂线段PA，A为垂足，由P向棱作垂直相交的直线PB，B为垂足，边AB，则PBA为所求二面角的平面角（也可由A作AB与棱垂直，连BP），用这种作法就得寻找题目中有没有半平面的垂线、有没有棱的垂线，看能不能可利用.二、利用定义求二面角平面角【例2】在四面体S-ABC中，已知SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的大小.分析：求二面角的大小，关键是找出二面角的平面角，利用题设条件，结合线面垂直和线线垂直的有关定理即可确定所求二面角的平面角，并在
3、相应的三角形中求出其大小.解：SB=BC且E是SC的中点（如右图），SCBE，又已知SCDE，BEDE=E，SC平面BDE.SCBD.又SA底面ABC，BD面ABC，SABD.而SASC=S，BD平面SAC.面SAC面BDE=DE，BDDE，BDDC.EDC为所求二面角的平面角.SA底面ABC，SAAB，SAAC，设SA=a，则AB=a,BC=SB=a,又ABBC，AC=a,在RtSAC中，tanACS，ACS=30.又已知DESC，FDC=60，即所求二面角的大小为60.温馨提示 求作二面角的平面角的方法较多，本题采用的实质上找到一个与棱BD垂直的平面EDC，而此时正好DE、DC分别在二面角
4、的两个面上,由此根据平面角定义便知，EDC为二面角的平面角.三、利用向量求二面角的平面角【例3】 如右图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为m的正方形，侧棱AA1的长为n,且A1AB=A1AD=120，求二面角A1-AB-D的余弦值.解：如下图，过A1作A1EBA交BA的延长线于点E，ABCD为正方形，ADAB，则向量与所成的角的大小即为二面角A1-AB-D的大小.,=|cos,+| |cos,=nmcos120+0=mn.A1AB=120,A1AE=60,又A1A=n,AE=n,A1E=n.|=n,|=m,cos,=二面角A1-AB-C的余弦值为.温馨提示 将二
5、面角转化为两个面的法向量所成的角或其补角，通过建立空间直角坐标系来解决. 利用两个向量的数量积运算求其夹角.此时要注意平面的法向量有两种指向，应结合图形决定取向，或由图形决定两个法向量所成的角与二面角是相等还是互补.各个击破类题演练 1 如右图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G.求二面角B1-EF-B的大小.解：ACBD,EFAC,则BGEF,又B1B面 AC,则B1GEF,B1GB是二面角B1-EF-B的平面角.BG=BD=a,tanB1GB=22.二面角B1-EF-B的正切值为.变式提升 1 ABC和DBC所在平面互相垂
6、直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120，求二面角A-BD-C的正切值.解：作OEBD于E,连AE,由三垂线定理可得BDAE.AEO就是二面角A-BD-C的平面角的补角.在RtABO中,ABO=60,AO=ABsin60=AB,OB=AB,在RtBOE中,EBO=60，OE=OBsin60=AB.在RtAOE中,tanAEO=2.二面角A-BD-C的正切值为-2.类题演练 2 已知AOB=90,过点O引AOB所在平面的斜线OC与OA、OB分别成45、60的角，求二面角A-OCB的大小.解：在OC上任取一点D,在面COB内作DEOC,在面AOC内作DFOC交OA于F,则EDF为二面角A-O
7、C-B的平面角,连结EF,设OD=a,DOF=45,DF=a,OF=a,又DOE=60,DE=a,OE=2a.EF=a,cosEDF=.二面角A-OC-B的大小为-arccos.变式提升 2 过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PA=AB=，求二面角B-PC-D的大小.解:PA平面ABCD,BDAC,BDPC.在平面PBC内作BEPC于E,连结DE,得PC平面BED,从而DEPC,即BED是二面角B-PC-D的平面角.在RtPAB中,由PA=AB=a，得PB=a.PA平面ABCD,BCAB,BCPB,PC=a.在RtPBC中，BE=a.同理DE=a.在BDE中,cosBED=-.则二
8、面角B-PC-D为120.类题演练 3 如右图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=2，ACB=90,M是AA1的中点，N是BC1中点.求二面角B-C1M-A1的大小.解:三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,CC1BC,又ACB=90,BC平面A1MC1,=(-2,0,0),设垂直于平面BMC1的向量n=(a,b,1),=(-2,0,2),=(-2,2,),n=0,n=0,即解得a=,b=.n=(,1).cos,n=,即二面角B-C1M-A1的大小为-arccos.变式提升3 如右图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=
9、，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形.(1)求证：ADBC；（2）求二面角B-AC-D的大小.答案：(1)证明:作AH面BCD于H,连BH、CH、DH,则四边形BHCD是正方形,且AH=1,以D为原点,以DB为x轴,DC为y轴建立空间直角坐标系如右图,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).=(-1,1,0),=(1,1,1),=0,则BCAD.(2)解:设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则由n1知n1=-x+y=0;同理由n1知n1=x+z=0.可取n1=(1,1,-1).同理,可求得平面ACD的一个法向量为n2=(1,0,-1).由图可以看出,二面角B-AC-D的大小应等于n1,n2,则cosn1,n2= =,即所求二面角的大小是arccos.
