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1、复数题的求解策略与技巧由于复数问题设计面广,解题方法灵活,因此,在解题时必须研究策略与技巧,以求做到选择捷径,避繁就简,合理解题下面举例介绍解复数问题的常见策略与技巧一、整体代入在涉及到若干个量的求值时,不必把每个量都具体求出来,可以把它们当作整体来求,这样,就能避免由局部运算所带来的麻烦例1 如虚数z满足z= 8,求zz2z2的值解:z= 8,即z2= 0,(z2)( z2z4) = 0,z为虚数,z20,z2z4 = 0,zz2z2 = z(z2z4)2 = 802 = 6二、整体换元有些复数问题,注意其整体结构,可以采用整体换元,改变解题角度,这样能避免冗长的运算,使问题简化例2 求同时
2、满足下列两个条件的所有复数z:z是实数,且1z6; z的实部和虚部都是整数解:设z=,则z10 = 0,这是一个关于z的实系数一元二次方程,由16知,其判别式=400,所以方程z10 = 0只有一对共轭虚根:z =又有条件知,只能取2,6,经验证,易得所求复数为13,3三、引入参数通过引入参变量架起已知通向未知的桥梁,这样,把问题转化为对参变量的讨论这种方法运用的巧妙,可以达到化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为已知的效果例3 设z为复数,若R,求z所对应的点的轨迹解:令= k (kR),当k0时,设z = xy (x、yR),则(xy)(xy)=kyk(x2),由复数相等条件得:= (x1)(y1)= 2所以复数z所对应的点的轨迹是以(1,1)为圆心,以为半径的圆当k = 0时,复数z所对应的点的轨迹是原点四、化归实数将复数问题实数化,或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题,就可降低解题难度,简化解题过程例4 已知复数z满足|z35| = 1,复数满足|1|5| =,求|z|的最值解:椭圆|1|5| =的中心坐标为(3,0),a =,c = 2,b = 4,故椭圆的方程为,对此方程参数化,令 (为参数)点(3,4)到圆心(3,5)的距离为:d =,当=1时d取得最大值9;当=1时d取得最小值1,所以|z|的最大值为91 = 10,最小值为11 = 0