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1、复数的确立有了实数概念，人们就解决了过去仅有有理数概念时所不能解决的不可公度和开方开不尽等矛盾但后来随着生产实践的深入发展，又产生了新的矛盾，如负数开平方是什么？众所周知，在实数范围内，任何一个正数或负数的平方都得正数，或者说，没有一个数的平方会等于负数因而，负数开平方（如）已超出实数范围与实数相比较，当时人们把这样的数称之为“虚数”，以示“不存在”、“虚无”的意思后来，人们经过长期实践逐步认识到，“虚数”并不虚无，还把虚数与实数的复合形式（为实数）称为复数于是，在数的概念中，又引进了复数的概念，数的系统得到了再一次的扩充“虚数”概念的确立，是一个漫长而曲折的过程，大体可分为以下几个阶段：第一
2、，问题提出阶段早在公元前，在解决生产实际问题时，人们就遇到了负数开平方问题，例如，解方程时，又遇到了负数开平方例如，公元七世纪，我国唐代的辑古算经中，就有三次方程问题及其解法但一直到十六世纪以前，无论是我国还是外国，虽然研究并解决了许多三次方程问题，但对负数开平方问题仍采取回避的态度就是说，问题是提出来了，但没有解决第二、理论探讨阶段到了十六世纪，人们已获得了三次方程的一般求解公式：（为实数）有后来，人们发现，某些三次方程有实根，但用公式求不出实根，于是出现了矛盾例如，显然有实根但应用公式，则得如何解决这一矛盾？当时，人们从理论上进行了探讨，充分发挥了辩证思维的能动作用例如，1572年，意大利
3、数学家邦别利（ombelli，1526-1572），从出发，证得将代入，得这样，就解决了用公式求不出实根的矛盾不仅如此，还逐渐建立了关于虚数的一些运算法则虚数开始得到人们的承认第三，实践检验阶段有了虚数概念之后，人们在理论上把数的概念由实数扩展到了复数但是，在相当长的时期里，一些人对虚数和复数的存在是有怀疑的十六世纪的意大利数学家卡当（ardane，1501-1576）仍称复数为“似实而虚的”数十七、十八世纪，人们努力寻找复数的几何表示和物理意义到了十九世纪，人们最终作出了复数的各种几何解释，它被理解为平面上的点或矢量，并与物理学上的各种矢量联系起来了这样，复数在物理学的实际研究中首先得到了一些应用，并受到了初步检验这种应用，反过来又推动了复数理论的进一步发展，逐渐形成了一门重要的数学分支复变函数论复变函数论在解决与弹性力学、电工学、空气动力学、流体力学等有关的生产实际问题中显示出，它是一种很有效的数学工具既然复变函数论在实践中得到了检验，证明它是科学的数学理论，那么，作为这种理论的基本概念的复数及虚数，也就一同在实践中得到了检验，证明它是科学的数学概念复数确立之后，数的概念得到了又一次扩展
