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1、引言一般三次方程的解法的思路是化为缺项的三次方程，再作变换转换为二次方程来求解。一般四次方程的解法也是转换为缺项的四次方程，再将缺项的四次方程转换为三次方程后，再求出四次方程的根。我在本论文中首先提出一元三次方程的定义和一般形式与一元四次方程的定义和一般形式，然后详细地讨论一元三次，一元四次方程的基本解法，最后根据该解法解出给定举例的根。1一元三次方程的解法定义：如果只含有一个未知数并且未知数的最高次数为三的方程叫做一元三次方程.一元三次方程的一般形式： ， 320axbcda1.1 形如 的一元三次方程的解法.30xpq设有方程 （1）3我们令 ，并代入方程（1）得xuv30uvpq展开并整
2、理得到 （2）3q为了减少（2）中的未知数，不妨设 03puvpuv从而（2）变为即 30uvq327vqpu根据伟大定理可知 是二次方程,3207pyq的两个根，解这个二次方程得 233233 47uqpv从而有 ， ， 2331 47qpu21u31u， ， 2331v21v31v其中 ， 2ii因此方程 三个解的公式是：30xpq23233114747pqpuv23233231 47qpxv2323332147qpuv这个公式叫做卡丹（cardano）公式.这里 中 与 各有 3 个值，因此 共有 9 个值，但是其中 的x xuv,uv三个值满足条件 ，所以原方程只有三个解 .puv12
3、3,x如： 23232331474747qqpqp11xuv又如： ， 其中 6 个值不满足条件 .23puv23puv3puv 下面讨论根的情况：由以上可得一元三次方程的判别式： .2347qpD并且可知 决定了根的性质：D（1）当 时， 是不相等的两个实数，原方程（1）有一个实根和03,uv两个共轭虚根，即 23233114747qpqpx2323321 11322xuv uviuv2323331 114747qpqpxv viv（2）当 时， ，原方程（1）有三个实根，并且其中两个0D3uv相等，即 3112qxv323231112quvuu（3） 当 时， 和 都是复数，并且共轭复数，
4、因为由 0D nz有 23233 4747qpqpui i2333 2因为 23pupuv 即 即 uvjjuv1,23j设 是 的任意一个值，从而 ，因此有1sitsit1121131 3322xsuvuviuvstx即 时原方程有三个互异的实根，它们是：0D， ， 11uv21xu31xv例 1. 解方程 380解： ， 2pq347pD1232640因此原方程有三个互异的实根。又由 32324qu i8cosin4， 31224cssi3kkku 0,12k1 12cosin2cosin212vu1i iv 23cosin1所以三个根11 31cos1624cos42xuv2836，其中
5、 21xu12cosincosin31ui24i212xuii，其中 31xv 23cosincosin31v72i131 7cosincosin21xv57564cscs4123o162362所以原方程的三个根为：， ， .12x2x3x1.2.一般一元三次方程 的解法30abcd设有一般地一元三次方程（1）320axbcda对它进行化简，目标是将它的二次项系数化为零.令 ，其中 是一个待定常数ykk并代入(1) 得 320aykbcykd展开并整理得到 32232y abck取 （2）03bakbkxya把（2）代入（1）得 233207bcycda即 （3） . 23 32107bbyc
6、dypqaa其中 ， 3pc217bcqda只要解出（3）的解，利用变化（2）就可以知道方程（1）的解.根据形如 的一元三次方程的解法可以知道方程（3）的三个解：30xq11231yuv又由 得到原方程的三个根 .3bxya123,x由以上的讨论可知方程 的解法步骤：320xbcd(1)由 的值求,bcd2321,37bbckpcqdaa或 代入原方程得 写出 的值，且写出 .3xya30yxq, 3xya(2)计算判别式 与 247pD33,22qquDv其中根据 的值计算出 的解.,uv123,y(3)把 的值代入 得到原方程的三个根 .123,ybxa123,x例 2. 解出方程 .32
7、9140x解：（1）由已知得 bkxya且232116, 737bcpcpda（2）28047qD且 即 378124uD12u即 3qv1v由 可知原方程有一个实根，两个共轭虚根，即0D11yu2111322vuviuv32i32111yii（3）由 得到原方程的三个根：x， ， ，1223xi32xi.32x例 3. 解方程 3210x解：（1）由已知得 3bkxya且 ， 213pc43217bcqda1627（2）2604792qD因此原方程有三个实根，其中两个相等，即3312316427qy（3）由 得到原方程的三个根是：1xy， .14231x2.一元四次方程的解法定义：如果只含有
8、一个未知数并且未知数的最高次数为四的方程叫做一元四次方程.一元四次方程的一般形式： .4320axbcdxe0a2.1.用待定系数法解一元四次方程待定系数法的定义：为了求得某一个代数式可以根据这个代数式的一般形式引入待定的系数，然后根据条件列出方程组，再通过解方程组来确定待定的系数值，这种确定未知代数式的方程叫做待定系数法.设有方程 （1）4320xabcxda令 ， 并代入原方程消去三次项得 xy（2）420pqyr设 4222yrklkym4yl其中系数 是待定常数，通过比较系数得 ,klm（3）2lkpqlr若 ，则 ，此时方程是双二次方程，很容易解出0k0q若 时可解得（4）3234k
9、pqlmkpqr于是 （5）64220kp设 是该方程的任意一个根，则由（4）有0， 302kql302kpqm从而方程（2）变为 200yly分别解方程 和 20kl k即可得方程（2）的解，并进一步得到方程（1）的解.例 4. 解方程 .432410xx解：令 并代入所给的方程，化简得ayy（1）42530设 2yykylkym因为 ，于是有1k323134pqkmpqrk得 64220kpkq642130k取 ， ， 11l3m因此方程（1）可写成 220yklykm13由 解得 210y52y由 解得 2313由 得原方程的四个根： ， 1xy152x215x， .3432.2 解一元
10、四次方程的一般方法设有方程 （1）4320axbcdxe0a对它进行化简，目标是将它得三次项系数化为零.令 ， 其中 是待定常数.ykk把 代入（1）得x4320aykbcykdyke展开并整理得到 432322640aabcdyakbcdke 又令 ，并代入 得到44baxyk（2）xy把（2）代入（1）得 432044bbbbayycydyeaaa23 424 2 31311088561bbcbcbdycydyeaaaa（3）40qrs其中 用 表示的常数.,qrs,bcde只要解出（3）的解，利用变化（2）就可以知道方程（1）的解.又令 222 24 244yuvuvwuvuv代入（3）
11、 ，展开并整理得到22 22222840uvuvqrvus令 且 220q8r（5）22quv（6）8r把（5） ， （6）代入（4）得2222240uvquvuvus从而有 ， 216s64rw即得到（7）22222 41664quvsuruv由（7）可知 是下面三次方程的根2, （8）2234016qsrzz我们根据一元三次方程的解法求出（8）的三个根，若这三次方程的根是.123,z即 2213,uzvz123,uzvz这时 有 8 种可能的结合，但是由于（6）的限制所以实际上只y有 4 种结合，这就是四次方程的解，又由 得到原方程的四个根4bxya.1234,x总结总的来说，如果要求解出
12、一元三次，四次方程的根，那么根据一元三次，四次方程的解法任选用上面所述的解法能降低运算量，并且顺利达到目的。参考文献中学代数研究 ，张奠宙，张广祥.高等教育出版社，2006 年 1 月第一1M版.一元三次方程的解法 ，玉素音.艾山，喀什师范学院学报，2008 年 122J月 20 日出版.初等代数研究（下册） ，余元希，田万海，毛宏德.高等教育出版社，31988 年 2 月第一版.初等代数研究 ，李辰明，周焕山.高等教育出版社，1995 年 6 月第一4M版.中国矿业学院研究室 ，数学手册，科学出版社，1980 年 9 月第二版.5基础数学（上册） ，万传良，李治明.新建教育出版社，1999 年 6 月6第一版.一元代数方程 ，刘培娜.科学出版社，1985 年第一版7M
