《吴赣昌编-概率论与数理统计-第3章(new)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《吴赣昌编-概率论与数理统计-第3章(new)（76页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章多维随机变量及其分布 二维随机变量边缘分布随机变量的独立性二维随机变量的函数的分布 3 1二维随机变量及其分布 设S e 是随机试验E的样本空间 X X e Y Y e 是定义在S上的随机变量 则由它们构成的一个二维向量 X Y 称为二维随机变量或二维随机向量 例1 抽查某地区儿童的身高体重 设X 身高 Y 体重 则 X Y 是一个二维随机变量 二维随机变量 X Y 的性质不仅与X及Y有关 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系 因此 单独讨论X和Y的性质是不够的 需要把 X Y 作为一个整体来讨论 随机变量X常称为一维随机变量 一 二维随机变量 一维随机变量X R1上的随机点坐标 二维随
2、机变量 X Y R2上的随机点坐标 n维随机变量 X1 X2 Xn Rn上的随机点坐标 多维随机变量的研究方法也与一维类似 用分布函数 概率密度 或分布律来描述其统计规律 定义2设 X Y 是二维随机变量 对任意实数x y 二元实值函数F x y P X x Y y P X x Y y x y 称为二维随机变量 X Y 的分布函数 或称X与Y的联合分布函数 F x y 即为事件 X x 与 Y y 同时发生的概率 二 二维随机变量的联合分布函数 几何意义 若把二维随机变量 X Y 看成平面上随机点的坐标 则分布函数F x y 在 x0 y0 处的函数值F x0 y0 就表示随机点 X Y 落在
3、区域 X x0 Y y0中的概率 如图阴影部分 x0 y0 x y O 对于 x1 y1 x2 y2 R2 x1 x2 y1 y2 则随机点 X Y 落在矩形区域 x1 X x2 y1 Y y2 内的概率可用分布函数表示为P x1 X x2 y1 Y y2 F x2 y2 F x1 y2 F x2 y1 F x1 y1 x1 y1 x2 y2 Ox1x2x y1 y2 y 分布函数F x y 具有如下性质 1 对任意 x y R2 0 F x y 1 2 单调不减 F x y 是变量x或y的非降函数 即对任意y R 当x1 x2时 F x1 y F x2 y 对任意x R 当y1 y2时 F
4、x y1 F x y2 3 归一性 4 右连续 函数F x y 关于x是右连续的 关于y也是右连续的 即对任意x R y R 有 5 不等式 对于任意 x1 y1 x2 y2 R2 x1 x2 y1 y2 F x2 y2 F x1 y2 F x2 y1 F x1 y1 0 反之 任一满足上述五个性质的二元函数F x y 都可以作为某个二维随机变量 X Y 的分布函数 三 二维离散型随机变量及其分布 1 二维离散型随机变量若二维随机变量 X Y 的所有可能取值是有限多对或可列无限多对 则称 X Y 是二维离散型随机变量 2 联合分布律设 X Y 是二维离散型随机变量 其所有可能取值为 xi yj
5、 i 1 2 j 1 2 若 X Y 取数对 xi yj 的概率P X xi Y yj pij 满足 1 pij 0 2 则称P X xi Y yj pij i 1 2 j 1 2 为二维离散型随机变量 X Y 的概率分布或联合概率分布 二维离散型随机变量的分布律也可用表格形式表示为 其分布函数为 例3 1设袋中有a b个球 a只红球 b只白球 今从中任取一球 观察其颜色后将球放回袋中 并再加入与所取的球相同颜色的球c只 然后再从袋中任取一球 设 求二维随机变量 X Y 的分布律 解X的可能取值为0 1 Y的可能取值为0 1 例3 2袋里有5个有编号的球 其中有1个球编号为1 有2个球编号均为
6、2 有2个球编号均为3 每次从中任取两个球 以X和Y分别表示这两个球中编号最小的号码和最大的号码 求X和Y的联合分布律 解 X Y 的全部可能取值为 1 2 1 3 2 2 2 3 3 3 5个球从中任取2个 共有C52 10种取法 试验样本点总数为10 用表格表示为 四 二维连续型随机变量及其密度函数 1 定义设二维随机变量 X Y 的分布函数为F x y 若存在非负可积函数f x y 使对任意实数x y有 则称 X Y 为二维连续型随机变量 且称函数f x y 为二维随机变量 X Y 的密度函数 概率密度 或X与Y的联合密度函数 可记为 X Y f x y x y R2 2 联合密度f x
7、 y 的性质 1 非负性 f x y 0 x y R2 2 归一性 3 若f x y 在 x y 处连续 则有 事实上 4 设G是平面上一个区域 则二维连续型随机变量 X Y 落在G内的概率是概率密度函数f x y 在G上的积分 即 EX 设 求 P X Y G 16 或记为 或记为 利用直角坐标系计算二重积分 1 2 X 型区域 Y 型区域 例3 3设二维随机变量 X Y 的联合概率密度函数为 1 求常数k 2 求概率P X Y 1 解 1 解得k 15 O1x 1 y y x x y 1 2 例3 4设二维随机变 X Y 量具有概率密度 1 确定常数C 2 求概率P X Y Ox y x2
8、 y x y 解 1 2 确定积分区域 19 4 2边缘分布 1 二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量 X Y 作为一个整体 具有联合分布函数F x y 而X和Y都是随机变量 各自也有它们的分布函数 记X的分布函数为FX x 称为随机变量 X Y 关于X的边缘分布函数 Y的分布函数为FY y 称为随机变量 X Y 关于Y的边缘分布函数 由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系 20 边缘分布的几何意义 FX x 的函数值表示随机点 X Y 落入如下左图所示区域内的概率 FY y 的函数值表示随机点 X Y 落入如下右图所示区域内的概率 Oxx Ox y y y 21 2 二维离
9、散型随机变量的边缘分布律 由 X Y 的联合分布律P X xi Y yj pij i j 1 2 i 1 2 j 1 2 其中pi 和p j分别为表示 的记号 它们分别是事件 X xi 和 Y yj 的概率 且有 pi 0 p j 0 22 称P X xi pi i 1 2 为二维离散型随机变量 X Y 关于X的边缘分布律 称P Y yj p j j 1 2 为二维离散型随机变量 X Y 关于Y的边缘分布律 以表格形式表示为 例3 7已知 X Y 的分布律为 故关于X和Y的边缘分布律分别为 求X Y的边缘分布律 解 24 例3 8设随机变量 X Y X在1 2 3 4四个整数中等可能地取值 另
10、一个Y在1至X中等可能地取一整数值 试求 X Y 的联合分布律和边缘分布律 解事件 X i Y j 中i的取值为1 2 3 4 而j取不大于i的整数 因此 i 1 2 3 4 j i i 1 2 3 4 j 1 2 3 4 X和Y的边缘分布律分别为 25 3 二维连续型随机变量的边缘密度函数 设 X Y 是二维连续型随机变量 联合密度为f x y 此时X Y也是连续型随机变量 称X的密度函数fX x 为 X Y 关于X的边缘密度函数 且有 称Y的密度函数fY y 为 X Y 关于Y的边缘密度函数 且有 26 例3 9设二维随机变量 求边缘密度函数fX x 和fY y 解当0 x 1时 O1x
11、y 1 y x2 y x3 当x 0或x 1时 f x y 0 所以 当0 y 1时 当y 0或y 1时 f x y 0 所以 27 五 二维连续型随机变量的常用分布 1 均匀分布设G为xoy平面上的有界区域 G的面积为A 若二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 则称二维随机变量 X Y 在G上服从均匀分布 若G1是G内面积为A1的子区域 则 即 此概率仅与G1的面积有关 成正比 而与G1在G内的位置无关 28 例如 向平面上有界区域G内任投一质点 若质点落在G内任意小区域B的概率与小区域的面积成正比 而与B的位置无关 则质点的坐标 X Y 在G上服从均匀分布 例 若 X Y 服从矩形区域a
12、 x b c y d上的均匀分布 则 X Y 的两个边缘分布仍为均匀分布 且分别为 例3 10设 X Y 服从如图区域G上的均匀分布 1 求 X Y 的概率密度 2 求P Y 2X 3 求F 0 5 0 5 O0 51x G 解 1 区域G的面积为1 2 Y 2X G1 y 2x y1 区域G1的面积为 1 P Y 2X 3 F 0 5 0 5 P X 0 5 Y 0 5 G2 30 解由题意 联合密度函数为 先求fX x 当 Ox y G 当 同理可得 例3 11设二维随机变量 X Y 在边长为a的正方形内服从均匀分布 该正方形之对角线为坐标轴 求边缘密度函数 其中 1 2为实数 1 0 2
13、 0 1 则称 X Y 服从参数为 1 1 2 2 的二维正态分布 记为 2 正态分布若二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 32 二维正态分布的重要性质 若 X Y 服从二维正态分布 则 联合密度函数f x y 的指数部分 则 即 同理可得 x 33 由此性质看到 X Y 的边缘分布都与 无关 说明 不同 得到的二维正态分布也不同 但其边缘分布相同 因此边缘分布是不能唯一确定联合分布的 即使X Y都是服从正态分布的随机变量 X Y 不一定是服从二维正态分布 二维正态分布的边缘分布必为一维正态分布 反之不真 34 联合分布律不同 边缘分布律可能相同 但仅有边缘分布律一般不能得到联合分布律 即
14、联合分布律可以确定边缘分布律 而边缘分布律不一定能确定联合分布律 35 例3 12设二维随机变量 x y 求fX x fY y 解 因此 同理可得 但 X Y 不服从二维正态分布 36 习题1 已知二维随机变量的联合分布函数为 试用表示概率 37 习题2 设盒子中有2个红球 2个白球 1个黑球 从中随机地取3个 用X表示取到的红球个数 用Y表示取到的白球个数 写出 X Y 的联合分布律及边缘分布律 38 习题3 的联合密度函数为 求 1 常数k 2 P X Y 1 3 P X 1 2 求 1 P X 0 2 P X 1 3 P Y y0 习题4 随机变量 X Y 的概率密度为 y D 答 P
15、X 0 0 Ox 1 y0 y0 40 习题5 设 X Y 的联合密度函数如下 分别求X与Y的边缘密度函数 41 3 4随机变量的独立性 一 两个随机变量的独立性定义设F x y 是二维随机变量 X Y 的分布函数 FX x FY y 分别是X与Y的边缘分布函数 若对一切x y R 均有P X x Y y P X x P Y y 即F x y FX x FY y 则称随机变量X与Y是相互独立的 随机变量X与Y是相互独立的充要条件是事件 X x 与事件 Y y 相互独立 若 X Y 是二维离散型随机变量 其分布律为P X xi Y yj pij i j 1 2 则X与Y相互独立的充分必要条件是对
16、任意i j P X xi Y yj P X xi P Y yj 即pij pi p j 若 X Y 是二维连续型随机变量 则由分布函数与概率密度函数的关系可知 X与Y相互独立 即F x y FX x FY y 成立的充分必要条件是f x y fX x fY y 在平面上几乎处处成立 由上述结论可知 要判断两个随机变量X与Y的独立性 只需求出它们各自的边缘分布 再看是否对 X Y 边缘分布的乘积都等于联合分布即可 43 若随机变量X与Y相互独立 则联合分布可由边缘分布唯一确定 定理1 随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事情与Y生成的任何事情独立 即 对任意实数集A B 有P X A Y B P X A P Y B 定理2 若随机变量X与Y相互独立 则对任意函数g1 x g2 y 均有g1 X 与g2 Y 相互独立 44 例3 13已知 X Y 的联合分布律为 试确定常数a b 使X与Y相互独立 解先求出 X Y 关于X和Y的边缘分布律 要使X与Y相互独立 可用pij pi p j来确定a b P X 2 Y 2 P X 2 P Y 2 P X 3 Y 2 P X 3 P Y
