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1、精密仪器设计DesignofPrecisionInstrument 第二部分 仪器精度理论 误差分析与处理 什么是仪器精度 如何衡量仪器精度的高低 仪器精度理论的研究内容 仪器精度概述 误差基本理论 2 1 本章内容 误差合成与分配 仪器精度分析与设计 3 精度是精密仪器的一项重要指标 是由于仪器原理 结构和制造装调等方面的不完善导致仪器测量值与被测量真实值有一定偏差 这种偏差大小反应了仪器本身性能的好坏 可用仪器本身缺陷所造成的误差大小来评定 精度本身是一种定性的概念 可采用误差作为定量的指标来衡量 第一节仪器精度概述 误差定义 对某物理量进行测量 所测得的数值与其真值之间的差称为测量误差
2、即 误差的大小反应了测量值对于真值的偏离程度 也可采用相对误差的形式 仪器误差的来源 1 测量理论 测量方法不完善或采用近似方法2 仪器设计方案不同3 零部件设计原理不同 仪器零部件在制造过程中的公差 仪器使用过程中的磨损 应力变形等导致的误差 误差的分类 随机误差 偶然误差 不确定因素导致的误差 数值和方向没有一定规律 但其总体服从统计规律 系统误差 大小和方向在测量过程中恒定不变 或按照一定规律变化的误差 可进行调节和修正 粗大误差 由于疏忽或错误出现的误差 应予以剔除 按被测参数的时间特性还可分为静态参数误差和动态参数误差 仪器精度理论研究内容 1 研究影响仪器精度的各项误差来源及特性
3、2 研究误差的评定和估计方法 3 掌握误差的合成与分配原则 为精度设计提供可靠的科学依据 第二节误差基本理论 2 1随机误差 2 2系统误差 2 3粗大误差 一 随机误差的基本特点及分布 正负误差概率基本相等 小误差出现概率大 正负误差可相互抵消 误差不会超过一定界线 2 1随机误差 理论依据 中心极限定理只要构成随机变量总和的各独立随机变量的数目足够多 而且每个随机变量对总量的影响都足够小 那么 随机变量总和的分布规律为正态分布 古典误差理论认为 随机误差服从正态分布 正态分布及特性 测量数据的概率密度函数 随机误差的概率密度函数 正态分布只能看作随机误差分布律的极限情况 若决定误差的因素有
4、限 可能服从非正态分布 更一般的求解公式 拉普拉斯函数 或称正态分布积分 式中 我们可以有68 27 的把握认为测量值的误差不超出 0 6827 拉普拉斯函数的变形 思考 若测量值必须具有99 的可信度 其误差应放宽至多大 P 0 95 一般精密测量 应用广泛 P 0 9973 用于较重要的科研工作和精密仪器 P 0 9999 用于个别对可靠性要求特别高的科研和精密测量工作 二 随机变量的数字特征l描述随机变量分布特征的数值 随机变量的数字特征 理想化 数学期望 位置特征 方差 分散性指标 随机变量关于其数学期望的偏离程度比其他任何值的偏离程度都小 如果x是测量值 那么Ex就是该被测量值最可信
5、赖的值 或称概然值 数字特征如何估计 数学期望的估计 算术平均值 要求估计值在参考量附近摆动 作为无偏估计 就要证明估计值的数学期望正好等于未知量 真值 标准偏差及其估计 标准差或方均根误差 例 两组测量值 平均值都是20 0000 但是第II组更分散 衡量的指标 标准差 1 标准差的估计 贝赛尔公式 贝赛尔公式 即 就是的无偏估计 2 标准偏差的其他估算方法 1 别捷尔斯法 Peters 贝塞尔公式和别捷尔斯公式均需要求 再求 复杂 2 极差法 n xmax xmin 根据极差得分布函数 可以求出数学期望 dn可查表得到 与测量次数有关 测量的次数越多 n大的概率高 故dn应大 极差法可简单
6、迅速算出标准差 n 10时适用 上例 3 最大误差法 查表 例 上表为例 3 四种计算方法的优缺点 别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台 它的计算速度较快 但计算精度较低 计算误差为贝氏公式的1 07倍 用极差法计算 非常迅速方便 可用来作为校对公式 当n 10时可用来计算 此时计算精度高于贝氏公式 用最大误差法计算 更为简捷 容易掌握 当n 10时可用最大误差法 计算精度大多高于贝氏公式 尤其是对于破坏性实验 n 1 只能应用最大误差法 贝塞尔公式的计算精度较高 但计算麻烦 需要乘方和开方等 其计算速度难于满足快速自动化测量的需要 三 测量结果的精度指标 正态分布的概率积分
7、 误差函数 1 误差出现在内的概率 置信度表示 令 2 的含义 标准差 是表征随机误差很重要的一个特征量 可用于描述测量列中各个测得值的误差 因标准差 甚为重要 需进一步理解它的含义和对测量的作用 例如 对某一量测试100次 得到测量值 可作为表征测量列中每一个测得值误差的参数 3 以单次测量为结果时的精度指标 1 标准差 2 平均误差 含义 测得值的误差不超过 的置信概率为57 62 3 几率误差 概差 或然误差 与几率误差相应的置信概率为50 4 极限误差 误差所能达到的极限值 置信度99 73 值的确定 测量误差落在 之内和之外的概率相等 在一个测量列中 不是以某个抽样 而是以整个测量列
8、的算术平均值作为测量结果 置信概率P 此时 以算术平均值表示结果时 对应的误差又是多少 一个测量列 对于m个测量列而言 每个测量列的均值都是一个随机变量 如何计算算数平均值的标准差 4 算数平均值的分布特性与标准差 多组测量列 算数平均值的标准差 即用作为测量结果比用单次测量结果精度提高了倍 增加测量次数 可以提高测量精度 但测量精度是与n的平方根成反比 因此要显著提高测量精度 必须付出较大的劳动 由图 一定时 当n 10以后 的减小很慢 此外 由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定 从而引入新的误差 因此一般情况下取n 10左右较为适宜 多次测量的 算数平均值的标准差 例 用仪器测量某量块几
9、何长度10次 得到数据如下 单位为mm 75 01 75 04 75 07 75 00 75 03 75 09 75 06 75 02 75 08 求 1 算术平均值及其标准差 2 量块的测量结果 解 5 算数平均值的置信度 一般表达式 两种求解方法 测量次数n较多时 n不应低于10 通常 20 拉普拉斯函数求解法 例 测量某量值25次 得 求测量结果 误差限 测量结果 若 测量次数n较少时 t分布求解 当测量次数n较少时 不服从正态分布 而是服从自由度n 1的t分布 t分布数字特征 利用t分布求解置信度的方法 测量次数较少时 例 测量某量值5次 得 求测量结果 误差限 测量结果 t分布在数理
10、统计中称为小子样分布 在精密测量中 测量次数很少有超过20次的 因此 在理论上应按t分布来计算相应的误差限 只有在测量次数较多 n 20 的情况时 或其测量量不甚重要时 才可近似应用正态分布的理论来处理 当n无限增大时 t分布曲线和正态分布曲线基本重合 即按两个分布理论来处理测量数据 所得的结果差异是极小的 6 算数平均值的精度指标 常用的有4个 1 标准差 2 平均误差T 3 几率误差R 4 极限误差 知识点回顾 随机误差及分布 随机误差的数字特征均值求解方差求解 四种 测量结果精度指标单次测量表示结果 精度及置信度算术平均值表示测量结果 精度及置信度 练习 利用某精密测量系统测量微弱电压2
11、0次 得均值5uV 单次测量精度为0 1uV 求测量结果置信概率为50 的置信区间 四 随机误差的其它分布 三角形分布 辛普生分布 simpson 计数器计数误差 反正弦分布 电子测量振幅 微波测量由失配引起的不确定度 偏心分布 瑞利分布 rayleigh 雷达杂波包络分布 均匀分布 仪器制造中的公差 测量装置方面的因素 环境方面的因素 测量方法的因素 测量人员的因素 2 2 系统误差 一 系统误差的分类和特征 1 定值系统误差 在同一条件下 多次测量同一测量值时 误差的绝对值和正负符号保持不变 如读数装置的调零误差 量块或其它标准件尺寸的偏差 均为恒定系统误差 2 变值系统误差 变化系统误差
12、指在整个测量过程中 误差的大小和方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化 可分为三种 线性系差 累进系差 在整个测量过程中 随某因素而线性递增或递减的系统误差 如温度线性变化引起的误差 周期系差 在整个测量过程中 随某因素作周期变化的系统误差 如齿轮转动引起的正弦误差 复杂系差 在整个测量过程中 随某因素变化 误差按确定的更为复杂的规律变化 称其为复杂规律变化的系统误差 二 系统误差对测量结果的影响 1 定值系差的影响 2 变值系差的影响 定值系差 不影响随机误差分布曲线的形状及分布范围 只引起分布密度函数的位置变化 平移 变值系差 不仅使随机误差的分布密度曲线平移 同时也改变了曲
13、线的形状和分布范围 结论 三 系统误差的发现 1 定值系差的发现 由于不影响残差 无法从测量原始数据自身判定 1 对比检定法 校准法 改变测量条件进行测量 一般换更精密的仪器 求出两次测量的算术平均值之差 即为定值系差 2 均值与标准差比较法 如果测量次数足够多 服从正态分布时 服从正态分布 如果测量次数较少 用两样本t检验法进行检验 3 t分布检验法 2 变值系差的发现 两种基本方法 观察残差的变化或者检验是否服从已知的规律 1 马林科夫判据 前后分组核算残差法 线性系差 按先后顺序将测量数据分两组 前一半和后一半的残差分别求和 然后求其差值 如果不存在累进性系差 该差值应近似为0 否则 可
14、能比较大 不适于检验周期性系差 如果测量服从正态分布 则 阿贝判据为 计算时以残差代替真差 可以证明 2 阿贝 赫梅特准则 周期系差 3 标准偏差不同公式检算法 类型不能确定 四 系统误差的减小和消除 主要途径 1 在仪器设计过程中完善测量方法和设计方案 2 在仪器制造过程中 提高制造精度 3 合理使用仪器 减小运行误差 环境和使用规范 4 测量过程中 采用合理的测量方法和数据处理方法消除系统误差 粗大误差 疏忽误差 过失误差 不能不知原因不加分析就轻易舍弃测量列中最大或最小的数据 对怀疑是粗大误差而又不明原因的数据 应按照统计学方法进行判别 2 3 粗大误差 1 莱特准则 3 准则 最常用
15、最简单判别粗大误差的准则 具体剔除办法 先计算标准差 然后计算每次测量的残差 剔除完后 重新按准则计算 直至没有数据剔除为止 若 则剔除 2 肖维勒 chauvenet 准则 以随机误差服从正态分布为前提 思路与莱特准则相似 若残差 则剔除该数据 肖维勒准则确定的方法 显著度 与莱特准则的区别 置信度与测量次数相关 数据量越大 判据越严格 将的误差中的最大一个剔除 重新计算 再次用肖维勒准则判断 直至全部符合判据 注意 肖维勒准则以大数据量为前提 n 10时 不适宜采用 莱特准则和肖维勒准则都是基于这个前提 n较小时都不可靠 3 格罗布斯 grubbs 准则 如果样本观测值中存在异常数据 它一
16、定是最大值或最小值 将测量数据从小到大顺序排序 x 1 最小 x n 最大 构造异常值的检验统计量 通常可按照描述样本极值与样本主体之间的差异的原则来进行 例 用三种方法判别仪器的测量结果是否含有粗大误差 3 按格罗布斯准则 grubbs 按测得值大小排列 则 首先怀疑x 1 可能含有粗大误差 查表得 取显著度0 05 由于 因此第8个测量值含有粗大误差 应剔除 余下的14个数据做同样的处理 直至没有粗大误差的数据 仪器设计问题 设计一台精密电阻测量仪 总精度要求 总 该精密电阻仪主要由高精度恒流源电路 精密电压测量电路 运算放大电路等部分构成 则 满足总精度要求的情况下 每部分的精度应该为多少 分配问题 当每部分的误差已知时 该测量仪器的总误差是多少 合成问题 被测量值在仪器测量链测量转换过程的数学描述可表示为如下测量方程式 Si为测量仪器各环节特性参数值 测量示值 原始信号 合成 间接测量如何得到结果的误差 分配 已知测量结果误差 如何分配单项误差 测量系统设计问题 第三节误差的合成与分配 仪器精度的分析与设计 一 基本概念 精度分析 根据仪器的工作原理 结构 制造工艺和使用条件来
