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1、高二数学抛物线的几何性质练习卷（2-1）1、抛物线的准线方程是（ ） A、 B、 C、 D、2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A4 B2 C4或4 D12或23、抛物线y28x的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ()A1 B. C. D. 4、过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有 ()A1条 B2条 C3条 D4条5、已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 () A.或 B.或 C. 或 D. 6、设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(
2、O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 ()A4x B8x C4x D8x7、已知抛物线y24x上两个动点B、C和点A(1,2)，且BAC90，则动直线BC必过定点 ()A(2,5) B(2,5) C(5，2) D(5,2)8、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是_9、若抛物线y22px的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为 10、已知点M是抛物线y24x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x4)2(y1)21上，则|MA|MF|的最小值为_11、已知抛物线，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A( 两点，则 , y的最
3、小值是 。12、A、B为抛物线上两动点, AB长为8，M为AB中点，则的最小值为 13、已知动圆过定点P(1,0)，且与定直线l：x1相切，点C在l上(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；(2)设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点问ABC能否为正三角形？若能，求出C点的坐标；若不能，说明理由14、在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A、B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点15、如图：直线与抛物线交于A、B两点，直线l与直线和y5分别交于M、Q，且，(1)求点Q的坐标；(2)当点P为抛物线上且位于线段AB下方
4、(含点A、B)的动点时，求OPQ面积的最大值参考答案一、选择题1、D、2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A4B2C4或4 D12或2解析：设标准方程为x22py(p0)，由定义知P到准线距离为4，故24，p4，方程为x28y，代入P点坐标得m4.答案：C3(2020东北三校)抛物线y28x的焦点到双曲线1的渐近线的距离为()A1 B.C. D.解析：由题意可知，抛物线y28x的焦点为(2,0)，双曲线1的渐近线为yx，所以焦点到双曲线的渐近线的距离为1.答案：A4过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有
5、()A1条 B2条C3条 D4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)答案：C5已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.或 B.或C.或 D.解析：由焦点弦长公式|AB|得12，sin，或.答案：B6(2020济南第二次诊断)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x解析：由题可知抛物线焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方
6、程为y2(x)，令x0，可得A点坐标为(0，)，所以SOAF4，a8.答案：B7已知抛物线y24x上两个动点B、C和点A(1,2)，且BAC90，则动直线BC必过定点()A(2,5) B(2,5)C(5，2) D(5,2)解析：设B(，y1)，C(，y2)，BC的中点为D(x0，y0)，则y1y22y0，直线BC：，即：4x2y0yy1y20；又0，y1y24y020，代入式得：2(x5)y0(y2)0，则动直线BC恒过x50与y20的交点(5，2)答案：C二、填空题8在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是_解析：由题意设抛物线的
7、方程为y22ax(a0)，由于其过点P(2,4)，所以422a2a4，故该抛物线的方程是y28x.答案：y28x9若抛物线y22px的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p的值为_解析：双曲线1的右焦点F(3,0)是抛物线y22px的焦点，所以3，p6.答案：610(2011南京调研)已知点M是抛物线y24x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x4)2(y1)21上，则|MA|MF|的最小值为_解析：依题意得|MA|MF|(|MC|1)|MF|(|MC|MF|)1，由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线的准线x1的距离，结合图形不难得知，|MC|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线
8、x1的距离，即为5，因此所求的最小值为4.答案：411、0 3212、3三、解答题13已知动圆过定点P(1,0)，且与定直线l：x1相切，点C在l上(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；(2)设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点问ABC能否为正三角形？若能，求出C点的坐标；若不能，说明理由解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y24x.如图所示 (2)由题意得，直线AB的方程为y(x1)，由消y得3x210x30.解得A(，)，B(3，2)若ABC能为正三角形，设C(1，y)，则|AC|AB|BC|，即组成的方程组无解，因此直线l上不存在点C使A
9、BC是正三角形14(2020淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A、B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)设l：xtyb代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b
10、，x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2，直线l过定点(2,0)若4，则直线l必过一定点15.如图：直线yx与抛物线yx24交于A、B两点，直线l与直线yx和y5分别交于M、Q，且0，()(1)求点Q的坐标；(2)当点P为抛物线上且位于线段AB下方(含点A、B)的动点时，求OPQ面积的最大值解：(1)联立，解得或，即A(4，2)，B(8,4)0，QMAB，又()，M是AB的中点，即M(2,1)l是线段AB的垂直平分线，又kAB，l的方程为y12(x2)，即2xy50，令y5，得x5，Q(5，5)(2)直线OQ的方程为：xy0.由题意可设P(x，x24)，4x8，且O、P、Q不共线，则点P到直线OQ的距离为：d|x28x32|.又|OQ|5，SOPQ|OQ|d|x28x32|(x4)248|，其中x4,8，且O、P、Q不共线，令f(x)(x4)248，则当x4,8时，函数f(x)单调递增又当x4时，|x28x32|48，当x8时，|x28x32|96.当x8时，(SQPO)max9630.
