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1、2017/6/8,第四章 线性系统的根轨迹法,根轨迹法的基本概念 根轨迹绘制的基本法则 广义根轨迹 系统性能的分析,2017/6/8,4-1 根轨迹的基本概念,1. 根轨迹概念,开环传递函数中的某一个参数从零变化到无穷时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹称为根轨迹。,k,s(0.5s+1),k=0时， s1=0, s2=2,0k0.5 时，两个负实根；,k=0.5 时，s1=s2=1,若s1=0.23, s2=?,2017/6/8,综上所述：,（1）k*从0 时，系统的根轨迹是连续变化。可见： 系统的参量变化对系统闭环极点分布的影响。,（2）由根轨迹图，可得系统动、静态性能的信息：,1）
2、稳定性 无论k*值如何变化（ k*0），闭环极点不出现 在s的右半平面，所以系统是稳定的。,2）稳态误差 I型系统，K为静态速度误差系数。,2017/6/8,3）动态性能, 0k0.5 时，系统为过阻尼状态，阶跃响应为 非周期过程。, k=0.5 时，系统为临界阻尼状态，阶跃响应为非 周期过程。, k0.5 时，系统为欠阻尼状态，阶跃响应为阻尼 震荡过程。,（3）结论： 根轨迹与系统性能之间有着直接联系。,2017/6/8,2. 根轨迹与系统性能稳定性：考察根轨迹是否进入右半 s 平面。稳态性能：开环传函在坐标原点有一个极点，系统为 1型系统，根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。 注意：根轨迹
3、图上的参数是根轨迹增益，根轨迹增益与 开环增益之间有一个转换关系。动态性能：由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。,G,H,3.闭环零极点与开环零极点的关系,n=q+h m=f+l,闭环零点,4. 根轨迹方程（P139）,1,+,K*,这种形式的特征方程就是根轨迹方程,特征方程 1+GH = 0,根轨迹的模值条件与相角条件(P140),-1,模值条件与相角条件的应用(补充),-1.5,-1,-2,0.5,2.26,2.11,2.072,K*=,= 6,相角条件：92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= 180o,j,0,模值条件,2017/6/8,4-2 根轨迹绘制的基本
4、法则,1. 绘制根轨迹的基本法则,规则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点（K*=0)，终止于开环零点。,简要证明：,当，必有S，即终点是开环零点。,当 ，必有S ，即起点是开环极点。,幅值条件改写为:,在控制系统中，总有nm，所以根轨迹从n个开环极点处起始，到m个开环零点处终止，剩下的n-m条根轨迹将趋于无穷远处。,起点：0，-2零极点：n=，m=0有两条根轨迹（n-m=2）,例：,2017/6/8,规则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性,根轨迹的分支数： 与开环极点数n相等（nm）,根轨迹连续性： 根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。,根轨迹对称于实轴： 特征方程的系数为实数
5、，特征根必为实数 或共轭复数。,规则3: 根轨迹的渐近线,（1）根轨迹中（n-m）条趋向无穷远处的分支的渐近线 的倾角为,当 时，求得的渐近线倾角最小；,K增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线只有（n-m）条。,2017/6/8,（2）渐近线与实轴的交点,渐近线的交点总在实轴上，即 必为实数。在计算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相互抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可。,2017/6/8,n-m=1，有一条渐进线,2017/6/8,n-m=2，有两条渐进线,2017/6/8,n-m=3，有三条渐进线,2017/6/8,n-m=4，有四条渐进线,2017/6/8,实轴上的根轨迹,设系
6、统开环零、极点分布如图所示。为在实轴上确定属于根轨迹的线段，首先在 和 之间任选一个试验点 。,2017/6/8,共轭复数极点到的幅角之和为，相互抵消，因此开环共轭复数极点、零点对实轴上根轨迹的位置没有影响，仅取决于实轴上的开环零、极点。若实轴上的某一段是根轨迹，一定满足相角条件。试验点左侧的开环零、极点提供的相角为,而右侧的相角为180。点满足相角条件，所以 之间是根轨迹。,2017/6/8,若实轴上某段右边的 开环实数零点数+开环实数极点数=奇数则该段是根轨迹的一部分。,规则4：实轴上的根轨迹,这个结论可以用相角条件证明：,分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：,或,规则5：根轨迹
7、分离点与会合点, 当根轨迹分支出由复平面走向实轴时，它们在实抽上的 交点称为会合点。, 两条以上根轨迹分支的交点称为根轨迹的分离点或会合点。, 当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面时，该相交点 称为根轨迹的分离点。,例-1,求根轨迹,解：在平面中确定开环零、极点的位置。,j, 确定实轴上的根轨迹。, n=3，m=0，应有三个分支， 并且都趋向无穷远处。, 确定渐近线的位置。,2017/6/8, 求分离点上的坐标。系统的特征方程为或,上式的根,因为分离点在至之间，故为分离点的坐标，而舍弃,用幅值条件确定分离点的增益：,推导:,2017/6/8,规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角 （入射角）
8、,起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的 切线与实轴的夹角 。,终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的 切线与实轴的夹角 。,2017/6/8,起始角（出射角）： 根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角 。,2017/6/8,终止角（入射角）： 根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。,在根轨迹上任取一点s,无限接近极点,起始角与终止角,绘制T从零到无穷变化闭环根轨迹。,解：,(s+5)2+52+Ts2(s+10)=0,闭环特征方程：,a,1,2,3,在a点附近的根轨迹上取一点b,1+ 2+ 3 （,1,1+,起始角),= (2k+1),起始角=45o,20
9、17/6/8,规则7：根轨迹与虚轴的交点,当增加到一定数值时，根轨迹可能穿过虚轴，进入右半平面，这表示将出现实部为正的特征根，系统将不稳定。必须确定根轨迹与虚轴的焦点，并计算对应的使系统处于临界稳定状态的根轨迹增益。在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现虚根。因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚轴的交点。可以用 代入特征方程求解，或者利用劳斯判据确定。,2017/6/8,例-1（续） 将 代入特征方程。,当时，系统出现共轭虚根，此时系统处于临界稳定状态。,规则 8：闭环极点之和、闭环极点之积与根轨迹分支的走向,设特征根为,结论：（1）若 n-m2 , 闭环极点之和 = 开环极点之和 = 常数 表明
10、：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动， 而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向 右移动，才能维持闭环极点之和为常数。（2）对于1型以上（包括1型）的系统，闭环极点之积 与开环增益值成正比。,闭环特征根之和 = 开环极点之和,特征根之积=所有开环极点之积所有开环零点之积 乘以根轨迹增益。,绘制根轨迹的基本法则(P140-150),1,2,根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点,3,4,5,L为来会合的根轨迹条数,n-m条渐近线对称于实轴,均起于实轴上的a 点,k= 0,1,2, ,根轨迹的会合与分离,实轴上某段右侧零、极点个数之和为奇数，则该段是根轨迹,k= 0,1,2, ,倒数法,求导法,根轨迹
11、的条数,为特征根的个数,根轨迹对称实轴,6,起始角与终止角(由例题说明),7,8,根之和,例4-2：设单位反馈系统的传递函数为,（2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹-，-2。,试绘制系统的根轨迹。,解（1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支； 有一个无穷远处的零点。,（3）分离点,（舍去）,2017/6/8,（6）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分， 圆心为（-2，j0)，半径为 。,（4）由相角条件,（5）根轨迹与虚轴无交点。,2017/6/8,2017/6/8,例4-4设一反馈控制系统的开环传函,绘制 变化时的系统根轨迹。,解：（1）在平面中标出开环极点,（2）由规则
12、2和3知，根轨迹共有四个分支，从开环 极点出发，当 时趋向无穷远处。,（3）由规则4知，实轴上的根轨迹 。,2017/6/8,（4）渐近线的相角和交点,（5）求根轨迹的分离点,系统的特征方程：,2017/6/8,对应分离点的 值可按幅值条件确定,（6）求根轨迹在 的出射角,上式的根为 ， 。只有是实际分离点。,2017/6/8,2017/6/8,（7）求根轨迹与虚轴的交点,利用劳斯判据求与虚根的交点,劳斯表：,2017/6/8,令，得,根据 行的系数写出辅助方程,将 代入，得,2017/6/8,（8）作根轨迹图,2017/6/8,2. 确定闭环极点,（1）画出 线,在例4-4中给定一对主导极点的阻尼比 。,2017/6/8,（2）线与根轨迹交点的坐标就是时，系统的 一对闭环主导极点。,（3）主导极点处对应的 值用幅值条件求,（4）用试探法可找到另两个闭环极点,当 时，系统的闭环传函为,2017/6/8,根轨迹示例1(补充),j,0,根轨迹示例2 (补充),
