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1、 1 第八章位移法 2 3 8 1位移法的基本概念 一 位移法的基本概念 1 位移法的基本未知量 EI EI 如上图所示的连续梁 取结点B的转角位移作为基本未知量 这就保证了AB杆与BC杆在B截面的转角位移的连续协调 选取结构内部结点的转角位移或结点之间的相对线位移作为位移法的基本未知量 4 2 位移法求解的基本步骤 5 3 杆端弯矩的表达式 由结点B的力矩平衡条件 可得 4 建立位移法方程 并求解 6 5 作弯矩图 将求得的代入杆端弯矩表达式 得到 7 1 位移法的基本未知量是结构内部刚结点 不包括支座结点 的转角位移或结点之间的相对线位移 2 选取内部结点的位移作为未知量就已经满足了结构的
2、变形协调条件 位移法的典型方程是力 其中包括力矩 的平衡方程 满足了结构中力的平衡条件 3 位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的组合体系 为了顺利求解 必须首先讨论单跨超静定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题 小结 8 二 位移法的基本未知量的确定 不把支座结点的可能位移作为位移法的未知量是因为 1 为了减少人工计算时基本未知量的数目 2 单跨超静定梁的杆端弯矩表达式中已经反映了支座可能位移 转角位移 相对线位移 的影响 如下图所示 位移法的基本未知量是结构内部的刚结点 不包括支座结点 的转角和独立的结点之间的相对线位移 9 为了减少人工计算时基本未知量的数目 在采用位移法求解时 确定结构的
3、基本未知量之前 引入如下的基本假设 对于受弯杆件 忽略其轴向变形和剪切变形的影响 亦即假定杆件在轴向是刚性的 杆件在发生弯曲变形时既不伸长也不缩短 10 1 刚结点的转角位移的基本未知量的确定 结构内部有多少个刚结点就有多少个结点的转角位移被确定为基本未知量 增加附加刚臂 结点的转角位移的基本未知量的数目就是个 11 从两个不动点 没有线位移的点 引出的两根无轴向变形的杆件 其交点没有线位移 采用位移法求解的基本未知量的数目 结构中独立的结点之间的相对线位移 结构内部刚结点的转角位移 采用增加附加链杆的方法确定独立的结点之间的相对线位移的基本未知量 2 独立的结点之间的相对线位移的基本未知量的
4、确定 若一个结构须要附加根链杆才能使所有内部的结点成为不动点 没有任何结点之间的相对线位移发生 则该结构中独立的结点之间的相对线位移的基本未知量的数目就是个 12 增加附加链杆 EA 有限值 13 8 2等截面直杆的刚度 转角位移 方程 一 符号规则 1 杆端弯矩 规定杆端弯矩顺时针方向为正 逆时针方向为负 杆端弯矩具有双重身份 1 对杆件隔离体 杆端弯矩是外力偶 顺时针方向为正 逆时针方向为负 2 若把杆件装配成结构 杆端弯矩又成为内力 弯矩图仍画在受拉侧 14 规定结点转角以顺时针方向为正 逆时针方向为负 3 杆件两端的相对线位移 FP 2 结点的转角位移 杆件两端的相对线位移的正负号与弦
5、转角 的正负号一致 而 以顺时针方向为正 逆时针方向为负 15 1 两端固定的梁 二 等截面直杆的刚度 转角位移 方程 16 式中系数4i 2i 6i l称为刚度系数 即产生单位杆端位移所需施加的杆端弯矩 由上图可得 可以写成为 上式就是两端固定的梁的刚度 转角位移 方程 17 2 一端固定 一端滚轴支座的梁 18 3 一端固定 一端定向滑动支座的梁 19 4 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同 则相应的杆端力也相同 1 20 3 2 21 1 两端固定的梁 三 固端弯矩 单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为固端弯矩 固端弯矩以顺时针方向为正 逆时针方向为负 22 2 一端固定 一端可
6、动铰支座的梁 23 3 一端固定 一端滑动支座的梁 各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表 24 四 正确判别固端弯矩的正负号 25 8 3无侧移刚架和有侧移刚架的计算 一 采用位移法求解无侧移的刚架 有两种建立位移法方程的方法 1 直接列方程法 直接利用平衡条件建立位移法的典型方程 2 典型方程法 利用位移法的基本体系来建立位移法的典型方程 26 解 例8 3 1采用位移法求作图示刚架的M图 已知各杆的EI相同 1 直接列方程法 直接利用结点的力矩平衡条件来建立位移法的一般方程 27 a 由于荷载引起的固端弯矩 2 列出杆端弯矩的表达式 10 67 42 67 21 33 10 67 28
7、b 由于 B产生的杆端弯矩 B 29 c 由于 D产生的杆端弯矩 30 叠加以上三种情况下的杆端弯矩 其表达式为 31 3 建立位移法方程 并求解 由结点B和结点D的平衡条件 可得 32 4 作弯矩图 0 71 1 78 27 02 25 24 38 76 1 42 11 73 M图 33 2 典型方程法 利用位移法的基本体系来建立位移法的典型方程 解 1 确定基本未知量的个数 并选取基本体系 容易确定此刚架只有两个结点的转角位移为基本未知量 和 选取基本体系如下图所示 基本体系 34 2 列出位移法的典型方程 3 计算系数和自由项 10 67 42 67 21 33 10 67 MP图 R1
8、P R2P i 作出基本体系的图 图 图 35 2i 4i 2i 4i r11 r21 2i i 4i 3i i r12 r22 36 ii 求方程中的系数和自由项 4 回代入方程中 求解得 5 采用叠加法作弯矩图 如前图所示 37 r11 8i r12 r21 2i r22 8i 上述刚度系数实质上是刚结点附加转动约束上产生的反力矩 由于原结构并没有附加转动约束 各附加转动约束上的反力矩之和应等于零 据此可以建立位移法典型方程 位移法典型方程的物理意义 刚结点处附加转动约束上的反力矩之和等于零 所以 方程右端恒等于零 位移法典型方程的实质是力的平衡方程 R1P 10 67 R2P 32 00
9、 总结 38 1 直接列方程法 利用平衡条件建立位移法方程 二 采用位移法求解有侧移的刚架 例8 3 2采用位移法求作图示刚架的内力图 解 2 列出杆端弯矩表达式 39 a 固端弯矩 2kN m 14kN b 产生的杆端弯矩 c 产生的杆端弯矩 40 3 建立位移法方程 并求解 由结点D的平衡 先考虑DA柱 作隔离体如右图 求柱端剪力 41 再考虑EB柱 最后 考虑CE梁水平方向的平衡 FSEB 42 解方程组 得 4 作内力图 43 44 解 1 确定基本未知量的数目 并选取基本体系 2 典型方程法 利用位移法的基本体系来建立位移法的典型方程 基本体系 45 2 列出位移法的典型方程 3 计
10、算系数和自由项 i 作出基本体系的 4kN m 14kN 14kN m R1P R2P 3 R2P MP图 附加刚臂上的反力矩之和等于零 附加链杆上的反力之和等于零 46 r11 2i i 3i r21 r21 0 75i 47 1 5i r12 r22 r22 0 75i 0 75i 图 0 75i 48 ii 求方程的系数和自由项 r11 5i r12 r21 0 75i r22 0 75i R1P 14 R2P 3 4 回代入方程中 求解得 5 采用叠加法作弯矩图 如前图所示 49 8 4对称结构的简化计算 结构对称是指结构的几何形状 支座条件 材料性质以及各杆刚度EA EI GA均满足
11、对同一个轴对称 利用结构的对称性进行简化计算 其基本思路是减少采用位移法计算的基本未知量的个数 一 奇数跨的刚架 分析与对称轴相交截面的位移条件 从而根据对称性取半边结构时 该截面应加上与位移条件相应的支座 50 对称结构在对称荷载作用下 其内力和变形均是对称的 在取半边结构时 C截面加上定向滑动支座 此时应将横梁的线刚度加倍 未知量 取半边结构 2i2 1 对称荷载 51 未知量 2i 52 未知量 2i2 53 未知量 2i2 在取半边结构时 C截面加上可动铰支座 此时应将横梁的线刚度加倍 2 反对称荷载 对称结构在反对称荷载作用下 其内力和变形均是反对称的 54 二 偶数跨的刚架 偶数跨
12、的刚架不存在与对称轴相交的截面 其中一根杆件为对称轴 1 对称荷载 未知量 在取半边结构时 C截面加上固定支座 此时应将横梁的线刚度加倍 55 2 反对称荷载 56 可以将中间杆件分成惯性矩各为I1 2的两个杆件 两杆件间的跨度为dl 则原结构变为奇数跨结构 利用奇数跨结构在反对称荷载作用下的结论 就可以得到图示的从中间劈开的半刚架的简化结果 57 例8 4 1试利用对称性求作图示对称结构的M图 三 举例 解 M 0 结构对称非对称荷载 正对称荷载 反对称荷载 58 M图 FPh M 0 59 例8 4 2试利用对称性求作图示对称结构的M图 解 M 0 60 M图 61 四 对称温度变化时的求
13、解 1 奇数跨刚架 取半边结构求解 62 2 偶数跨刚架 例8 4 3作下图a 示结构M图 刚架各杆为矩形截面 截面高为0 6m 各杆EI相同 解 63 1 各杆两端相对侧移 杆AB缩短 杆CD伸长 杆BC缩短 则AB BC杆相对侧移为 64 2 求固端弯矩 相对侧移产生的固端弯矩为 杆两端温差产生的固端弯矩为 65 3 杆端弯矩表达式 4 建立位移法方程并求解 66 5 回代求杆端弯矩并画弯矩图 在温度变化作用下 超静定结构内力与杆件EI的绝对值成正比 67 8 5支座移动 温度变化及具有弹簧支座结构的计算 一 支座移动时的位移法求解 解题思路 1 锁住结点 即令结点位移未知量等于零 2 令
14、结构产生已知的支座移动 此时各杆产生固端弯矩 3 令结构分别产生结点位移 此时各杆产生杆端弯矩 4 叠加2 3 的结果就求得各杆最终的杆端弯矩 68 例8 5 1作下图示结构M图 解 1 杆端弯矩表达式 69 2 建立位移法方程并求解 3 作弯矩图 70 在支座移动作用下 超静定结构内力与杆件EI的绝对值成正比 M图 结构弯矩图如下图示 思考题 下图示刚架结点B C有向右位移动 作结构内力图 71 二 弹簧支座的处理 根据弹簧支座所在的位置 有时需要增加结点位移未知量 不增加未知量 72 例8 5 2求下图示结构M图 1 未知量 解 2 杆端弯矩表达式 杆端弯矩由三部份组成 73 74 3 建
15、立位移法方程并求解 取隔离体如下图示 先求剪力FQBA FQCD 75 在弹簧支座A处补充平衡方程 解方程组 得 76 4 作弯矩图 77 例8 5 3作下图示连续梁的M图 1 未知量 解 78 2 杆端弯矩表达式 79 3 建立位移法方程并求解 取BC杆作为隔离体 求剪力FQCB 80 解方程组 得 4 作弯矩图 81 三 温度变化时的计算 在温度变化影响下 杆件轴向变形不能忽略 例8 5 4作右图示刚架M图 解 1 未知量 2 杆端弯矩表达式 82 杆BA伸长 杆BC伸长 杆BA相对侧移 杆BC相对侧移 83 由相对侧移产生的固端弯矩 由杆两侧温差产生的固端弯矩 84 总的固端弯矩为 杆端
16、弯矩表达式为 85 3 建立位移法方程并求解 取隔离体 求剪力FQBA 86 解方程组 得 4 作弯矩图 87 8 6斜杆刚架的计算 解带斜杆的刚架 关键是如何确定斜杆两端的相对侧移 确定斜杆两端的相对侧移需要画位移图 其思路是 根据已知两个结点线位移的大小和方向确定第三个结点的线位移 如下页图示装置 已知结点A B线位移的大小和方向 求结点C的线位移 88 多边形为所求位移图 89 右图即为所求的位移图 作位移图具体步骤 2 过A 作AC垂线 过B 作CB垂线 两垂线交点为C 90 例8 6 1作图示刚架M图 1 未知量 解 2 画位移图 确定各杆相对侧移 91 4 建立位移法方程并求解 结点B 3 杆端弯矩表达式 92 取AB杆为隔离体 求剪力FQBA 考虑BC部分平衡 93 解方程组 得 5 作弯矩图 94 例8 6 2作图示结构M图 解 95 2 画位移图 确定各杆相对侧移 3 杆端弯矩表达式 4 建立位移法方程并求解 96 考虑ABC部分平衡 取杆BD为隔离体 求剪力FQBD 97 5 作弯矩图 98 注意带滑动支座单跨斜梁固端弯矩及刚度系数的求解 99 e 100 8 7剪
