结构力学精12PPT课件

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1、 1 结构的弹塑性 普通钢筋拉伸曲线 第12章 结构塑性分析的极限荷载 12 1概述 弹性阶段I以后的的II III两条路经上的特性和承载能力 两曲线共同点 材料产生明显变形且有残余应变 但仍有承载能力 残余变形是材料不能恢复的变形 弹性设计方法 结构上任一点的应力和应变都不许超过材料的屈服应力和屈服应变 许用荷载法 2 理想弹塑性材料假设 线性模型 刚塑性模型 理想弹塑性模型 理想弹塑性材料假定 1 材料的拉压性能相同 2 加载时 材料曲线分弹性I和塑性II两个阶段 3 卸载时 卸载点在I II两个阶段上是不同的 总之 材料加载时呈弹塑性 卸载时呈弹性 12 2极限弯矩和塑性铰 纯弯曲矩形截

2、面梁 1 弹性极限弯矩Ms 在线弹性范围内 纯弯曲梁只受外力偶产生的弯矩 截面在变形后仍保持平截面 截面上的应变按截面高度线性分布 在中性轴处的应变等于零 按结构的弹性设计方法 当截面的最外层纤维达到材料的屈服应力 即 此时达到截面的弹性极限状态 用M Ms 矩形截面 线弹性状态 弹塑性及塑性流动阶段 2 极限弯矩Mu 当截面达到弹性极限状态外力偶继续增大M Ms以后 截面上的应变分布仍与截面高度呈线性关系 即平截面假定仍然适用 见图14 2 1 c 但截面上的应力分布不再与截面高度保持线性关系 1 截面的弹塑性阶段 2 截面的塑性流动阶段 矩形截面在塑性极限状态的极限弯矩 d 3 塑性铰概念

3、 当截面出现并不断扩大塑性区进入弹塑性发展阶段 直到整个截面被塑性区充满的塑性极限状态止 截面上应变的发展始终与截面高度成线性关系 即尽管这一阶段塑性区上的应力停止在屈服应力值上 但应变仍与弹性核部分的应变分布斜直线共线发展 因此 当截面达到塑性极限状态时 比弹性极限状态的应变值显著增大 由此产生的是该截面两侧无限靠近的两个截面绕中性轴发生相对的转动的相对角位移效应 塑性铰的以下特征 1 塑性铰承受并传递极限弯矩Mu 2 塑性铰是单向铰 只能使其两侧按与荷载增加 弯矩增大 相一致方向发生有限的转动 3 塑性铰不是一个铰点 而是具有一定的长度 综上所述 截面上各点应力均等于屈服应力的应力状态 截

4、面达到极限弯矩 截面形成塑性铰 均表示该截面达到其塑性流动的极限状态 3 具有一个对称轴截面的极限弯矩 1 截面在塑性极限状态的中性轴位置 截面上的应力应满足 在塑性极限状态时截面上的轴力应满足 截面在塑性极限状态的中性轴平分截面总面积A 即为截面的等面积轴 上式只有在成立时才能满足 即受拉区的面积须等于受压区的面积 2 截面的极限弯矩Mu 已知在塑性极限状态时截面的中性轴位置 可推导截面的极限弯矩如下 弯矩等于截面上应力对中性轴的合力矩 即 式中积分为截面的面积净矩 可写成 则极限弯矩可表示为 弹性极限和塑性极限之间的弹塑性阶段 中性轴界于截面的形心轴和等面积轴之间 以上所讨论的是梁在纯弯受

5、力和变形状态下的截面的两个阶段的极限状态和相应的极限弯矩 对非纯弯状态梁 通常剪力对梁的承载力的影响可忽略 所以仍可利用以上概念和结果 利用以上二式计算截面极限弯矩 12 2梁的极限荷载 研究梁的极限荷载 是寻找能使梁结构达到塑性极限状态时的荷载值 也就是梁结构在丧失承载力之前所能承受的最大荷载值 在上一节讨论过的截面极限状态 极限弯矩 的基础上 本节讨论结构的极限状态 极限荷载 1 静定梁的极限荷载 a b c d e 1 结构的极限状态 极限荷载是相应于结构极限状态时的荷载 当MC Mu FP2 FPu时 梁处于弹塑性发展阶段 弯矩图见图 c 当MC Mu时 截面C也将首先达到截面的塑性极

6、限状态 也即形成第一个塑性铰 结构上出现足够多的塑性铰 能使原结构成为破坏机构时的状态为结构的极限状态 结构在极限状态仍能保持静力平衡 2 结构的极限荷载 a 极限弯矩平衡法 由静力平衡条件得 即 则 b 破坏机构法 荷载和极限弯矩在虚位移上所作的总外力虚功方程为 解该虚功方程 得 c 关于静定梁极限荷载的求解 由于静定结构只要出现一个塑性铰即达到其塑性极限状态 即静定梁的极限状态时弹性阶段最大弯矩截面形成塑性铰 且弯矩图分布与弹性阶段相同 因此可由弹性阶段的弯矩图一次确定极限弯矩图 当弹性阶段的弯矩图容易求出时 一般可用极限弯矩平衡法计算静定梁的极限荷载 当静定梁上有两个或两个以上弯矩峰值

7、且一次性判断塑性铰位置截面或计算弹性阶段弯矩较麻烦时 可用破坏机构法求解静定梁的极限荷载 其做法时 将可能成为塑性铰的截面 具有弯矩峰值截面 依次假定为塑性铰 分别时为可能的破坏机构 然后由破坏机构法依次计算相应于这些机构的荷载 比较得出这些荷载中的最小值既是梁的极限荷载 2 超静定梁的极限荷载 1 超静定梁的破坏过程 a c b c d e f g 图14 3 3 b d f 将图 a 所示单跨超静定梁的弹塑性发展过程 按塑性铰的依次形成划分为三个阶段 即弹性阶段 随着荷载的增加 该阶段的弯矩图保持相同比例的分布关系 见图 b 第二阶段是从弹性阶段到梁的第一个塑性铰形成止 见图 d 第三个阶

8、段是接上一阶段末到第二个塑性铰形成止 当两个塑性铰都形成时 梁已成为破坏机构 见图 c 即已达到了梁结构的极限状态 根据塑性铰形成后即承受其极限弯矩不变的假定 且在结构达到极限状态及之前均能保持静力平衡条件 可利用叠加原理 将第一个塑性铰形成到第二个塑性铰形成所需的荷载以增量的形式分解出来 该荷载增量不会使A截面已达到的极限弯矩增加 梁上的弯矩增量分布相当于简支梁的弯矩分布 见图 e 将图 c 和图 e 由静力平衡条件算得的C截面的弯矩相叠加 若等于Mu 即在截面C又形成一个塑性铰 梁成为破坏机构 则两图上的荷载之和即为梁的极限荷载 即 解得 即 2 超静定梁的极限荷载 由前已由叠加方法得出了

9、式 a 所示单跨超静定梁的极限荷载 观察梁的最后极限弯矩图 g 既是所叠加的两弯矩图 c e 的叠加结果 利用梁的极限弯矩图的平衡条件 可得 则得 结构的极限荷载与结构的弹塑性发展过程无关 只与结构的极限状态有关 同样可由梁极限状态时的破坏机构 见图 b 可求得梁的极限荷载 虚功方程 例 1分析图 a 所示超静定梁的极限状态和极限荷载 已知Mu Mu b a c 可能机构I d 可能极限弯矩图I e 可能机构II f 可能极限弯矩图II g 可能机构III h 不可能 当梁在极限状态下可能出现塑性铰的所有截面可预先判定 并可能的塑性铰的数目大于破坏机构需要的塑性铰数目时 可以得出按需要的塑性铰

10、的数目的全部组合 假定每一种组合是一种可能得极限状态 即可按基本方法一一求得相应的可能得极限荷载 然后通过比较 其中最小荷载值既是梁得极限荷载 此中求极限荷载的方法可称作穷举法 解 1 基本方法用破坏机构法 可能机构I a 注意 在突变截面处的塑性铰的极限弯矩为较小极限弯矩 可能机构II 由几何关系知 代入上式 得 b 可能机构III c 当 机构I为破坏机构 由式 b 知 当 机构II为破坏机构 当 机构I II都是相应的破坏机构 图 d f h 是利用极限状态时可能的极限弯矩图由平衡条件进行计算的方法 由图 h 所示极限弯矩图的不可能将其排除 由图 f 分析可知 当 B截面弯矩值为 时 因

11、此 图 f 所示的可能极限弯矩图成立 由平衡条件得 当 由图 f 按与上相同的过程可计算出 也可将图 f 中B处的弯矩竖标与D处的0鼠标连辅助线 由平衡条件得 解得结果与前相同 例14 3 2设图 a 所示连续梁下侧受拉 正弯矩 时 AB BC的极限弯矩为Mu CD跨为2Mu 上侧受拉 负弯矩 时 均为相应跨下侧受拉极限弯矩的1 2倍 求该梁的极限荷载 a b 可能破坏机构I c 可能破坏机构II d 可能破坏机构III 解 可能机构I 因为图 a 所示连续梁的可能破坏机构可全部列出 可用穷举法 见图 b c d 用破坏机构法计算各可能的极限荷载如下 可能机构II a b 式 b 可写成 c

12、可能机构III d 比较取最小荷载值 即机构I为连续梁极限状态时的破坏机构 极限荷载为 因为该计算结果大于前面计算的极限荷载 且该梁不可能另有截面出现塑性铰 因其他截面的弯矩值均小于C D两截面的弯矩值 所以图14 3 1 e 所示为梁的真实破坏机构 由其计算的荷载即为梁的极限荷载 图14 3 2 第4节 判定极限荷载的一般定理 本节给出几个判定极限荷载的一般定理 判定极限荷载一般定理的限定条件 1 限定给结构加载的方式为按比例加载 2 限定仅在梁 刚架一类以弯曲变形为主的结构的范围内 并假定 a 材料为理想弹塑性材料 b 轴力和剪力对极限荷载的影响可以忽略不计 1 极限状态下的结构应满足的条

13、件 平衡条件 2 屈服条件 内力局限条件 3 单向机构条件 在极限状态下 结构的整体 或任一局部都满足静力平衡条件 在极限状态下 结构的任一截面上的弯矩值都不能超过截面的极限弯矩 在极限状态下 结构中有足够多的截面的弯矩值达到其极限弯矩 形成塑性铰 使结构成为机构 并可按荷载增加的方向作单向机构运动 刚体位移 下面给出两个有意义的术语 1 可接受荷载 在结构的所有截面的弯矩都不超过截面极限弯矩 且结构处于任一内力可能的受力状态下 由静力平衡条件求得的荷载 叫可接受荷载 2 可破坏荷载 由结构的任一可能的单向机构 用静力平衡条件求得的荷载 叫可破坏荷载 注意 两个求极限荷载的基本方法 及极限弯矩

14、平衡法和破坏机构法 都是静力平衡条件 可接受荷载和可破坏荷载分别满足结构极限状态充要条件中的两个条件 即 满足1 2 满足1 3 结构在极限状态下的极限荷载 应同时是 和 2 定理及证明 1 基本定理 可破坏荷载恒大于可接受荷载 即 证明 先对结构的任一可能破坏机构的单向刚体虚位移 可建立虚功方程 a 表示第i个塑性铰的极限弯矩 表示第i个塑性铰的相对角位移或角位移 再取结构的任一可接受荷载 让该荷载在式 a 破坏机构的相同的虚位移上作虚功 虚功方程为 b 为结构在可接受荷载作用下 与所取机构的第i个塑性铰对应处的弯矩值 满足屈服条件 该弯矩值应以实际的受拉侧与机构相应角位移的相对关系确定正负

15、号 也就是说 式 b 右侧的和式是代数和 为所取机构第i个塑性铰的角位移 因为该角位移是与式 a 取自同一个机构的虚位移 自然也可取其绝对值 以利与 a 式的比较 由于 或可接受荷载作用下的弯矩图 即 图 满足屈服条件 即应有下式成立 c 并同取和号 现将式 c 等号两侧同乘以 得 设结构有两种不同的极限状态 有与之相应的两个不等的极限荷载 比较式 a b 上式即为 即 成立 证毕 2 唯一性定理 单值定理 结构的极限荷载是唯一的 证明 根据极限荷载应同时满足既是可破坏荷载又是可接受荷载 先设 为可破坏荷载 为可接受荷载 由基本定理知应有 和 a 为可破坏荷载 为可接受荷载 再设 b a b

16、两式应同时成立 否则 均为极限荷载的假设不能成立 而使该两不等式同时成立的条件是 c 即 和若为极限荷载 应是相等的 也即结构的极限荷载是唯一的 证毕 3 上限定理 极小定理 可破坏荷载是极限荷载的上限 或 极限荷载是可破坏荷载中的极小者 即 d 4 下限定理 极大定理 可接受荷载是极限荷载的下限 或 极限荷载是可接受荷载中的极大者 即 e 证明 因为极限荷载同时是可接受荷载和可破坏荷载 当考虑为可接受荷载时 由基本 得式 D 上限定理证毕 定理 A 同理 当考虑为可破坏荷载时 由基本 下限定理证毕 得式 E 定理 A 以上四个定理 即是判定极限荷载的一般定理 其中基本定理用以证明上限和下限定理 其它三个定理则视所分析结构的实际情况选用 穷举法依据上限 极小 定理和唯一性定理 当结构的所有可能破坏机构被找出后 可得相应的所有可能的可破坏荷载 其中极小者一定是极限荷载 当结构的可能破坏机构不能确定被全部找出 或全部找出很麻烦时 可利用上限和下限定理 由试算法确定结构的极限荷载 例求图 a 所示单跨梁的极限荷载 已知梁截面的极限弯矩 图 a 解法1 依据极小定理 对图 b 所示的破坏机构虚