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1、09 06 2020 1 第十章定积分应用 09 06 2020 2 定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的 因此定积分的应用也非常广泛 本书主要介绍几何 物理上的应用问题 例如 平面图形面积 曲线弧长 旋转体体积 水压力 抽水做功 引力等 第一节定积分的元素法 一 问题的提出 如何应用定积分解决实际问题 微元法 09 06 2020 3 回顾曲边梯形面积A的计算过程 把区间 a b 分成n个小区间 有 总量A对于 a b 具有区间可加性 计算 Ai的近似值 得A的近似值 1 分割 2 近似 3 求和 4 求极限 n个部分量Ai的和 a b 0 x y y f x 即A可以分割成 0
2、9 06 2020 4 把上述步骤略去下标 改写为 1 分割 2 近似 3 求和 4 求极限 计算 A的近似值 x x dx 这种方法通常称为微元法或元素法 面积微元 用 A表示 x x dx 上的小曲边梯形的面积 取微元任取一个具有代表性的小区间 x x dx 区间微元 09 06 2020 5 若总量U非均匀分布在变量x的某个区间 a b 上 总量U有可加性 1 求微元局部近似得dU f x dx 2 求全量微元积分得 应用方向 平面图形的面积 体积 平面曲线的弧长 功 水压力 引力和平均值等 可用微元法的条件 步骤 09 06 2020 6 1 整体问题转化为局部问题 2 在局部范围内
3、以常代变 以直代曲 微元法的实质 3 取极限 定积分 由近似值变为精确值 09 06 2020 7 例1 写出长为l的非均匀细直棒质量的积分表达式 任一点的线密度是长度的函数 解 建立坐标如图 o x l x x dx 设任意点x的密度为 step1 step2 下面用微元法讨论定积分在几何 物理中的一些应用 微元法 ElementMethod 09 06 2020 8 第二节定积分在几何上的应用 一 平面图形的面积二 体积三 平面曲线的弧长 09 06 2020 9 平面图形的面积 一 直角坐标系情形二 极坐标系情形三 小结思考题 09 06 2020 10 曲边梯形的面积 由y f1 x
4、和y f2 x 围成的面积 一 直角坐标系情形 09 06 2020 11 解 3 面积元素 2 选x为积分变量 解方程组 即这两个抛物线的交点为 xx dx 1 求出两抛物线的交点 09 06 2020 12 讨论 由左右两条曲线x j左 y 与x j右 y 及上下两条直线y d与y c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分 提示 面积为 面积元素 dA j右 y j左 y dy 选积分变量 09 06 2020 13 09 06 2020 14 解 两曲线的交点 选为积分变量 09 06 2020 15 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 09 06 2020 16 解 椭圆的参
5、数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 09 06 2020 17 d dA 二 极坐标系情形 曲边扇形是由曲线r 及射线 所围成的图形 图形是曲边扇 梯 形 如何化不规则为规则 以圆扇形面积近似小曲边扇形的面积 得到面积元素 09 06 2020 18 d dA 面积元素 以圆扇形面积近似小曲边扇形面积 得到面积元素 曲边扇形的面积 09 06 2020 19 例4 计算阿基米德螺线 r a a 0 上相应于 从0到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积 解 取极角 为积分变量 变化区间为 0 2 取小区间 d 则 面积元素 09 06 2020 20 09 06 2020 21 解
6、 利用对称性知 心形线也称圆外旋轮线 2a 09 06 2020 22 09 06 2020 23 09 06 2020 24 求在直角坐标系下 参数方程形式下 极坐标系下平面图形的面积 注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算 三 小结 09 06 2020 25 立体体积 一 旋转体体积二 已知截面面积的立体体积三 小结思考题 09 06 2020 26 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 一 旋转体的体积 09 06 2020 27 如何计算黄瓜的体积 旋转体的体积为 09 06 2020 28 解 直线方程为 09 06 2
7、020 29 直线方程为 09 06 2020 30 解 星形线也称 圆内旋轮线 09 06 2020 31 a a 0 2 或 P 一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动 动圆圆周上任一点所画出的曲线 星形线 圆内旋轮线 09 06 2020 32 09 06 2020 33 09 06 2020 34 09 06 2020 35 例4求椭圆 分别绕X轴 Y轴 直线y c旋转一周所得旋转体的体积 09 06 2020 36 解 09 06 2020 37 09 06 2020 38 09 06 2020 39 如果一个立体不是旋转体 但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积 那么 这个立体的体积也可
8、用定积分来计算 二 已知截面面积的立体的体积 09 06 2020 40 A x dV A x dx x 已知平行截面面积为A x 的立体 a V 平行截面面积为已知的立体的体积 b 09 06 2020 41 o y R x x y R R ytan 问题 还有别的方法吗 x y 截面积 A x 例5 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截 得一圆柱楔 求其体积 09 06 2020 42 o y R x R R 方法2 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截 得一圆柱楔 求其体积 09 06 2020 43 o y R x R R 方法2 A B C
9、 D BC DC 截面积 S y x y 2x ytan S y 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截 得一圆柱楔 求其体积 09 06 2020 44 R x o x A x A x V R y 例6 求以半径为R的圆为底 平行且等于底圆直径的线段为顶 高为h的正劈锥体的体积 y 09 06 2020 45 旋转体的体积 平行截面面积为已知的立体的体积 绕轴旋转一周 绕轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周 三 小结 09 06 2020 46 平面曲线的弧长 一 平面曲线弧长的概念二 直角坐标情形三 参数方程情形四 极坐标情形五 小结 09 06 2020 47 一 平面曲线
10、弧长的概念 09 06 2020 48 弧长元素 弧长 二 直角坐标情形 09 06 2020 49 解 所求弧长为 09 06 2020 50 解 所求弧长为 09 06 2020 51 曲线弧为 弧长 三 参数方程情形 09 06 2020 52 解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 09 06 2020 53 曲线弧为 弧长 四 极坐标情形 09 06 2020 54 解 分部积分法 09 06 2020 55 解 09 06 2020 56 直角坐标系下 参数方程情形下 极坐标系下 五 求弧长的公式小结 09 06 2020 57 第三节定积分的物理应用 一 变力 变
11、距离作功二 水压力三 引力四 小结 09 06 2020 58 用元素法 09 06 2020 59 建立坐标轴如上图所示 提示 根据物理学 在电量为 q的点电荷所产生的电场中 距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为 09 06 2020 60 问题 物体在变力F x 的作用下 从x轴上a点移动到b点 求变力所做的功 用元素法 1 在 a b 上考虑小区间 x x x 在此小区间上 W dW F x dx 2 将dW从a到b求定积分 就得到所求的功 F x F x 09 06 2020 61 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强p与体积V的乘积是常数k 即 09 06 202
12、0 62 解 建立坐标系如图 这一薄层水的重力为 功元素为 kN m kJ 把这一薄层水抽出水池所作的功等于克服这一薄层重量所作的功 09 06 2020 63 例4修建一座大桥墩时 先要下围囹 并且抽尽其中的水以便施工 已知围囹的直径为20m 水深27m 围囹高出水面3m 求抽尽水所作的功 x x dx 27 3 20 0 分析 如下图 建立坐标系 09 06 2020 64 因这一薄层水抽出围囹所作的功近似于克服这一薄层重量所作的功 所以功元素为 解 建立坐标系如图 这一薄层水的重力为 于是在 3 30 上 抽尽水所作的功为 x x dx 27 3 20 0 O在水面 09 06 2020
13、 65 解 建立坐标系如图 需计算薄片的宽度 09 06 2020 66 问题 水的压力是如何产生的 水有重量 所以水也会对与其接触的物体产生压力 水的压力来自水中的四面八方 水压的强度和水的深度有关 愈深則水的压强愈大 问题 水库的堤坝为什么上边窄 下边宽 09 06 2020 67 如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处 那么 平板一侧所受的水压力为 P p A 如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同 不同点处压强p不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算 09 06 2020 68 y 09 06 2020 69 y 09 06 2020 70 例6 解 如图建立坐
14、标系 此闸门一侧受到静水压力为 09 06 2020 71 其中G为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算 更重要的是向量不能求和相加 09 06 2020 72 这是引力dF的方向不随小区间 x x dx 的改变而变化的情形 09 06 2020 73 由对称性知 引力在铅直方向分力 这是引力dF的方向随小区间 x x dx 的改变而变化的情形 应将引力dF分解为dFx和dFy后再分别用定积分计算 09 06 2020 74 09 06 2020 75
15、 尤其是如何在具体问题中取 微元 微功 微压力 微引力等 这对于从形式到内容真正地把握公式是非常必要的 相反如果仅满足于套用公式解决一些简单问题而不求甚解 那么遇到一些稍有灵活性的问题 便可能束手无策 不知如何下手 关于定积分在物理方面的应用 除了应熟记各个公式的结果外 还须了解其推导过程 09 06 2020 76 解 设木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为 例 用铁锤把钉子钉入木板 设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比 铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米 若每次锤击所作的功相等 问第n次锤击时又将铁钉击入多少 设次击入的总深度为厘米 次锤击所作的总功为 09 06 2020
16、77 依题意知 每次锤击所作的功相等 次击入的总深度为 第次击入的深度为 09 06 2020 78 利用 微元法 思想求变力作功 水压力和引力等物理问题 注意熟悉相关的物理知识 四 小结 09 06 2020 79 思考题 一球完全浸没水中 问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系 它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系 09 06 2020 80 思考题解答 该球面所受的总压力方向向上 下半球面所受的压力大于上半球面 其值为该球排开水的重量 即球的体积 也就是它在水中受到的浮力 因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关 09 06 2020 81 练习题 09 06 2020 82 09 06 2020 83 09 06 2020 84 练习题答案
