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1、第2章Z变换及Z传递函数 2 1Z变换定义与常用函数Z变换 2 1 1Z变换的定义已知连续信号f t 经过来样周期为T的采样开关后 变成离散的脉冲序列函数f t 即采样信号 对上式进行拉氏变换 则 对上式进行拉氏变换 则根据广义脉冲函数的性质 可得 上式中 F s 是离散时间函数f t 的拉氏变换 因复变量s含在指数e kTs中是超越函数不便于计算 故引一个新变量z eTs 设并将F s 记为F z 则式中F z 就称为离散函数f t 的Z变换 在Z变换的过程中 由于仅仅考虑的是f t 在采样瞬间的状态 所以上式只能表征连续时间函数f t 在采样时刻上的特性 而不能反映两个采样时刻之间的特性
2、从这个意义上来说 连续时间函数f t 与相应的离散时间函数f t 具有相同的Z变换 即 求取离散时间函数的Z变换有多种方法 常用的有两种 1 级数求和法将离散时间函数写成展开式的形式对上式取拉氏变换 得 例2 1求f t at T函数 a为常数 的Z变换 解 根据Z变换定义有 2 部分分式法设连续时间函数的拉氏变换为有理函数 将展开成部分分式的形式为因此 连续函数的Z变换可以由有理函数求出 例2 2已知 a为常数 求F Z 解 将F s 写成部分分式之和的形式 2 1 2常用信号的Z变换 1 单位脉冲信号 2 单位阶跃信号 3 单位速度信号 4 指数信号 5 正弦信号 2 2Z变换的性质和定理
3、 1 线性定理设a a1 a2为任意常数 连续时间函数f t f1 t f2 t 的Z变换分别为F z F1 z F2 z 及 则有 2 滞后定理设连续时间函数在t 0时 f t 0 且f t 的Z变换为F z 则有证明 3 超前定理设连续时间函数f t 的Z变换为F z 则有证明 4 初值定理设连续时间函数f t 的Z变换为F z 则有证明 所以 5 终值定理设连续时间函数f t 的Z变换为F z 则有证明 6 卷积和定理设连续时间函数f t 和g t 的Z变换分别为F z 及G z 若定义则 证明 由于当i k时 7 求和定理设连续时间函数f t 和g t 的Z变换分别为F z 及G z
4、若有则 证明 8 位移定理设a为任意常数 连续时间函数f t 的Z变换为F z 则有证明 9 微分定理设连续时间函数f t 的Z变换为F z 则有证明 2 3Z反变换 所谓Z反变换 是已知Z变换表达式F z 求相应离散序列f kT 或f t 的过程 表示为Z反变换主要有三种方法 即长除法 部分分式法和留数计算法 1 长除法设用长除法展开得 由Z变换定义得 比较两式得 则 2 部分分式法又称查表法 设已知的Z变换函数F z 无重极点 先求出F z 的极点 再将F z 展开成如下分式之和然后逐项查Z变换表 得到则 3 留数法设已知Z变换函数F z 则可证明 F z 的Z反变换f kT 值 可由下式
5、计算根据柯西留数定理 上式可以表示为n表示极点个数 pi表示第i个极点 即f kT 等于F z zk 1的全部极点的留数之和 即 2 5线性定常离散系统的差分方程及其解 对于单输入 单输出的计算机控制系统 设在某一采样时刻的输出为y kT 输入为u kT 为了书写方便 用y k 表示y kT 用u k 表示u kT 在某一采样时刻的输出值y k 不但与该时刻的输入u k 及该时刻以前的输入值u k 1 u k 2 u k m 有关 且与该时刻以前的输出值y k 1 y k 2 y k n 有关 即 或 上式称为n阶线性定常离散系统的差分方程 其中ai bi由系统结构参数决定 它是描述计算机控制
6、系统的数学模型的一般表达式 对于实际的应用系统 根据物理可实现条件 应有k 0 当k 0时 y k u k 0 用Z变换解常系数线性差分方程和用拉氏变换解微分方程是类似的 先将差分方程变换为以z为变量的代数方程 最后用查表法或其它方法 求出Z反变换 若当k 0时 f k 0 设f k 的Z变换为F z 则根据滞后定理关系可推导出 例2 8若某二阶离散系统的差分方程为 设输入为单位阶跃序列 解 对差分方程求Z变换得 取Z反变换得 2 6Z传递函数2 6 1Z传递函数的定义 设n阶定常离散系统的差分方程为 在零初始条件下 取Z变换则G z 就称为线性定常离散系统的Z传递函数 即 在零初始条件下离散
7、系统的输出与输入序列的Z变换之比 2 6 3Z传递函数的求法 1 用拉氏反变换求脉冲过渡函数2 将g t 按采样周期T离散化 得g kT 3 应用定义求出Z传递函数 即G z 不能由G s 简单地令s z代换得到 G s 是g t 的拉氏变换 G z 是g t 的Z变换 G s 只与连续环节本身有关 G z 除与连续环节本身有关外 还要包括采样开关的作用 为了讨论方便 将上述过程简记为 例2 9已知解式中e Ts相当于将采样延迟了T时间 根据Z变换的线性定理和滞后定理 再通过查表 可得上式对应的脉冲传递函数为 2 6 4开环Z传递函数 1 串联环节的Z传递函数串联环节的Z传递函数的结构有两种情
8、况 种是两个串联环节之间没有采样开关存在 即串联环节之间的信号是连续时间信号 如图2 3所示 G1 s Y s TU z U s Y1 s Y z 图2 3串联环节间无采样开关 G2 s G z 输出Y z 与输入U z 之间总的Z传递函数并不等于两个环节Z传递函数之积 因为两个环节之间的信号传递是一个连续时间函数 即上式对应的Z传递函数为上式中符号是的缩写 它表示先将串联环节传递函数G1 s 与G2 s 相乘后 再求Z变换的过程 另一种是两个环节之间有同步采样开关存在 如图2 4所示 G1 s TU z U s TY1 z G2 s Y z 图2 4串联环节间有采样开关 G z 两个串联环节
9、之间有采样开关 可由Z传递函数约定义直接求出 串联环节总的Z传递函数为 由上式可知 两个串联环节之间有同步采样开关隔开的Z传递函数 等于每个环节Z传递函数的乘积 在一般情况下 很容易证明 在进行计算时 应引起注意 结论 n个环节串联构成的系统 若各串联环节之间有同步采样开关 总的Z传递函数等于各个串联环节Z传递函数之积 即如果在串联环节之间没有采样开关 需要将这些串联环节看成一个整体 求出其传递函数然后再根据G s 求G z 一般表示成 2 并联环节的Z传递函数对于两个环节并联的离散系统 输入采样开关设在总的输入端 其效果相当于在每一个环节的输入端分别设置一个采样开关 如图2 5所示 根据图2
10、 5可知 总的Z传递函数等于两个环节Z传递函数之和 即上述关系可以推广到n个环节并联时 在总的输出端与输入端分别设有采样开关时的情况 总的Z传递函数等于各环节Z传递函数之和 即 2 6 5闭环Z传递函数 设闭环系统输出信号的Z变换为Y z 输入信号的Z变换为R z 误差信号的Z变换为E z 则有如下定义 闭环Z传递函数 闭环误差Z传递函数 例2 11设离散系统如图2 6所示 求该系统的闭环误差Z传递函数及闭环Z传递函数 Y z E z R z y t e t r t e t T H s G s 图2 6例2 11线性离散系统 解 G s 与H s 为串联环节且之间没有采样开关 则有闭环误差Z传
11、递函数 又 闭环Z传递函数 2 6 6Z传递函数的物理可实现性 从物理概念上说就是系统的输出只能产生于输入信号作用于系统之后 这就是通常所说的 因果 关系 设G z 的一般表达式为 不失一般性 假定其中的系统m 0 n 0 其余系数为任意给定值 则其对应的差分方程为由上式知 k时刻的输出y k 不依赖于k时刻之后的输入 只取决于k时刻及k时刻之前的输入和k时刻之前的输出 故G z 是物理可实现的 若设G z 的一般表达式为不失一般性 假定其中的系统m 0 n 0 其余系数为任意给定值 则如果G z 是物理可实现的 则要求n m 否则 k时刻的输出y k 就要依赖于k时刻之后的输入 这是物理不可实现的 2 6 7在扰动作用下的线性离散系统 线性离散系统除了参考输入外 通常还存在扰动作用 如图2 9所示 根据线性系统的迭加原理 系统的输出响应y t 应为参考输入r t 和扰动作用f t 分别单独作用所引起响应的迭加 1 当系统不存在扰动时的输出响应为2 当系统只存在扰动时 与之等效的方框图如图2 10所示 F s U z u t Yf z yf t f t G2 s 图2 10扰动系统的等效方框图 D z T G1 s T 根据线性系统的迭加原理 系统只存在扰动时的输出响应为取Z变换得 又则 3 在扰动作用下系统的输出响应为
