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1、4 4动能定理的应用 1 动能 合外力所做的功等于物体动能的变化 2 动能定理 物体的动能等于物体质量与物体速度大小的二次方乘积的一半 对动能表达式的理解 1 国际单位 焦耳1kg m2 s2 1N m 1J3 动能具有瞬时性 是状态量 v是瞬时速度 注意 v为合速度或实际速度 一般都以地面为参考系 动能 2 动能是标量 且没有负值 动能与物体的质量和速度大小有关 与速度方向无关 1 动能定理的普适性 对任何过程的恒力 变力 匀变速 非匀变速 直线运动 曲线运动 运动全程 运动过程某一阶段或瞬间过程都能运用 只要不涉及加速度和时间 就可考虑用动能定理解决动力学问题 2 动能定理的研究对象一般是
2、一个物体 也可以是几个物体组成的系统 4 对状态与过程关系的理解 a 功是过程量 动能是状态量 b 动能定理表示了过程量等于状态量的改变量的关系 涉及一个过程两个状态 c 动能定理反应做功的过程是能量转化的过程 等式的左边为合外力所做的功 或各个分力做功的代数和 等式右边动能的变化 指末动能EK2 1 2mv22与初能EK1 1 2mv12之差 5 当外力做正功时 W 0 故 Ek 0 即Ek2 Ek1 动能增加 当外力做负功时 W 0 故 Ek 0 即Ek2 Ek1 动能减少 动能定理 3 动能定理的计算式是标量式 遵循代数运算 v为相对地面的速度 我们对动能定理的理解 例1 一质为2kg的
3、物体做自由落体运动 经过A点时的速度为10m s 到达B点时的速度是20m s 求 1 经过A B两点时的动能分别是多少 2 从A到B动能变化了多少 3 从A到B的过程中重力做了多少功 4 从A到B的过程中重力做功与动能的变化关系如何 解 1 由得 在A点时的动能为 在B点时的动能为 2 从A到B动能的变化量为 4 相等 即 3 由得 AB过程重力做功为 例2 某同学从高为h处以速度v0水平投出一个质量为m的铅球 求铅球落地时速度大小 解 铅球在空中运动时只有重力做功 动能增加 设铅球的末速度为v 根据动能定理有 化简得2gh v2 v02 应用动能定理解题一般步骤 1 明确对象和过程 通常是
4、单个物体 2 做两方面的分析 受力分析 求各力的功及其正负 写出总功 确定初 末状态 写出初 末态的动能 3 由动能定理列方程 温馨提示 请摘抄笔记 例3 同一物体分别从高度相同 倾角不同的光滑斜面的顶端滑到底端时 相同的物理量是 A 动能B 速度C 速率D 重力所做的功 例4 质量为m的物体放在动摩擦因数为 的水平面上 在物体上施加水平力F使物体由静止开始运动 经过位移S后撤去外力 物体还能运动多远 例5 如图所示 半径为R的光滑半圆轨道和光滑水平面相连 一物体以某一初速度在水平面上向左滑行 那么物体初速度多大时才能通过半圆轨道最高点 R 例6 质量为m 3kg的物体与水平地面之间的动摩擦因
5、数 0 2 在水平恒力F 9N作用下起动 如图所示 当m位移s1 8m时撤去推力F 试问 还能滑多远 g取10m s2 分析 物体m所受重力G 支持力N 推力F 滑动摩擦力f均为恒力 因此物体做匀加速直线运动 撤去F后 物体做匀减速直线运动 因此 可用牛顿定律和匀变速直线运动规律求解 物体在动力F和阻力f作用下运动时 G和N不做功 F做正功 f做负功 因此 也可以用动能定理求解 解法一 用牛顿定律和匀变速运动规律 对撤去F推力前 后物体运动的加速度分别为 m在匀加速运动阶段的末速度为 将上两式相加 得 答 撤去动力F后 物体m还能滑4m远 可否对全程运用动能定理 例7 质量m 2kg的物块位于
6、高h 0 7m的水平桌面上 物块与桌面之间的动摩擦因数 0 2 现用F 20N的水平推力使物块从静止开始滑动L1 0 5m后撤去推力 物块又在桌面上滑动了L2 1 5m后离开桌面做平抛运动 求 1 物块离开桌面时的速度 2 物块落地时的速度 g 10m s L1 L2 F h 例8 一个质量为M的物体 从倾角为 高为H的粗糙斜面上端A点 由静止开始下滑 到B点时的速度为V 然后又在水平面上滑行距离S后停止在C点 1 物体从A点开始下滑到B点的过程中克服摩擦力所做的功为多少 2 物体与水平面间的动摩擦系数为多大 例9 如图所示 质量为m 2kg的小球 从半径R 0 5m的半圆形槽的边缘A点沿内表
7、面开始下滑 到达最低点B的速度v 2m s 求在弧AB段阻力对物体所做的功Wf 取g 10m s2 思路点拨 物体在弧AB段运动过程中受重力 弹力和阻力作用 其中弹力和阻力是变力 但在此过程中弹力对小球不做功 重力是恒力 做正功 阻力做负功 在这一过程中 可用动能定理 解析 重力的功 由动能定理有 计算得 总结升华 动能定理既适用于直线运动 也适用于曲线运动 既适用于恒力做功 也适用于变力做功 力做功时可以是连续的 也可以是不连续的 可以是在一条直线上的 也可以是不在一条直线上的 例10 在h高处 以初速度v0向水平方向抛出一小球 不计空气阻力 小球着地时速度大小为 C 物理过程中不涉及到加速
8、度和时间 而只与物体的初末状态有关的力学问题 优先应用动能定理 例11 如图4所示 AB为1 4圆弧轨道 半径为R 0 8m BC是水平轨道 长l 3m BC处的摩擦系数为 1 15 今有质量m 1kg的物体 自A点从静止起下滑到C点刚好停止 求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功 例12 运动员用力将一质量为m的铅球从离地为h高处以初速度v0水平推出 当它落到地面时速度为v 则在此过程中铅球克服空气阻力所做的功等于 A mgh mv2 2 mv02 2B mv2 2 mv02 2 mghC mgh mv02 2 mv2 2D mgh mv2 2 mv02 2 例13 一质量为m的小球 用长
9、为L的轻绳悬挂于O点 小球在水平拉力F作用下 从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点 细线偏离竖直方向的角度为 如图所示 则拉力F做的功是 A mgLcos B mgL 1 cos C FLcos D FL 分析 小球的下落过程根据受力情况可分为两段 例14 一球从高出地面H处由静止自由落下 不考虑空气阻力 落到地面后并深入地面h深处停止 若球的质量为m 求 球在落入地面以下的过程中受到的平均阻力 因此可以分两段求解 也可以按全过程求解 接触地面前做自由落体运动 只受重力G作用 接触地面后做减速运动 受重力G和阻力f作用 接触地面前 2 全过程 解 以球为研究对象 在下落的过程中受力如图 根据动能定
10、理有 解得 1 分段求解设小球在接触地面时的速度为v 则 接触地面后 例15 如图所示 斜面倾角为 滑块质量为m 滑块与斜面间的动摩擦因数 从距挡板为s0的位置以v0的速度沿斜面向上滑行 设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力 且每次与挡板碰撞前后的速度大小保持不变 斜面足够长 求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s 思路点拨 由于重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力 物体虽经多次往复运动 最终将停止在挡板处 过程中只有重力与摩擦力对物体做功 解 摩擦力一直做负功 其绝对值等于摩擦力与路程的乘积 由动能定理得 解得 例16 如图所示质量为m的物体置于光滑水平面 一根绳子跨过定滑轮一端固定在物体上 另一端
11、在力F作用下 以恒定速率v0竖直向下运动 物体由静止开始运动到绳与水平方向夹角 45 的过程中 绳中张力对物体做的功为 解析 当绳与水平方向夹角 45 时 物体的速度为 选物体为研究对象 研究物体由静止开始到绳与水平方向夹角为 的过程 根据动能定理可知 绳中张力对物体做的功等于物体动能的增加 即 例17 如图所示 一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动 圆盘边缘有一质量m 1 0kg的小滑块 当圆盘转动的角速度达到某一数值时 滑块从圆盘边缘滑落 经光滑的过渡圆管进入轨道ABC 已知AB段斜面倾角为53 BC段斜面倾角为37 滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均 0 5 A点离B点所在水平面的高度h 1 2
12、m 滑块在运动过程中始终未脱离轨道 不计在过渡圆管处和B点的能量损失 最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力 取g 10m s2 sin37 0 6 cos37 0 8 1 若圆盘半径R 0 2m 当圆盘的角速度多大时 滑块从圆盘上滑落 2 求滑块到达B点时的速度 3 从滑块到达B点时起 经0 6s正好通过C点 求BC之间的距离 解 1 滑块在圆盘上做圆周运动时 静摩擦力充当向心力 根据牛顿第二定律 可得 mg m 2R代入数据解得 2 滑块在A点时的速度 vA R 1m s从A到B的运动过程由动能定理得 mgh mgcos53 h sin53 可得滑块在B点时的速度 vB 4m s 3 滑块沿BC段
13、向上运动时的加速度大小 a1 g sin37 cos37 10m s2返回时的加速度大小 a2 g sin37 cos37 2m s2BC间的距离 例18 如图所示 一半径为R的半圆形轨道BC与一水平面相连 C为轨道的最高点 一质量为m的小球以初速度v0从圆形轨道B点进入 沿着圆形轨道运动并恰好通过最高点C 然后做平抛运动 求 1 小球平抛后落回水平面D点的位置距B点的距离 2 小球由B点沿着半圆轨道到达C点的过程中 克服轨道摩擦阻力做的功 来源 解 1 小球刚好通过C点 由牛顿第二定律小球做平抛运动 有s vCt 解得小球平抛后落回水平面D点的位置距B点的距离s 2R 2 小球由B点沿着半圆
14、轨道到达C点 由动能定理 mg 2R Wf 解得小球克服摩擦阻力做功Wf 例19 如图所示 一固定的锲形木块 其斜面的倾角 30 另一边与地面垂直 顶上有一定滑轮 一柔软的细绳跨过定滑轮 两端分别与物块A和B连接 A的质量为4kg B的质量为1kg 开始时将B按在地面上不动 然后放开手 让A沿斜面下滑而B上升 物块A与斜面间动摩擦因数为 设当A沿斜面下滑2m距离后 细线突然断了 取试求 1 绳断瞬间物块A的速率 2 物块B上升的最大高度 解析 1 由动能定理得 m s 2m s 2 B以2m s的初速度做竖直上抛运动 设继续上升的高度为h 则 物块B上升的最大高度 H h s 0 2 2 m 2 2m 例20 质量m 1kg的物体 在水平拉力F 拉力方向与物体初速度方向相同 的作用下 沿粗糙水平面运动 经过位移4m时 拉力F停止作用 运动到位移是8m时物体停止 运动过程中Ek x的图象如图所示 求 g取10m s2 1 物体的初速度多大 2 物体和平面间的动摩擦因数为多大 3 拉力F的大小
