《江苏省苏州市第五中学高中数学 1.4导数在实际生活中的应用学案（无答案）苏教版选修2-1（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省苏州市第五中学高中数学 1.4导数在实际生活中的应用学案（无答案）苏教版选修2-1（通用）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、14 导数在实际生活中的应用一、学习内容、要求及建议知识、方法要求学习建议导数在实际问题中的应用掌握导数在实际生活中主要是解决最优化的问题，建立函数模型是关键，而解决模型的过程实质上就是上一节的内容学生应该在具体问题中，理清各个量的关系，建立适当的函数模型二、预习指导1预习目标 通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值2预习提纲(1)回顾利用导数求函数最值的方法步骤；回顾将实际问题转化为数学问题的方法(2)阅读课本第35至第38页例题，思考以下问题： 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤： 利用导数解决实际问题中的最值问题时
2、应注意哪些问题? 3典型例题(1)面积、体积最值问题例1 用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?分析： 就用容器的高x作为自变量，建立一个关 于高的目标函数，容器的底面是矩形，长宽分别为902x，482x于是得出体积的函数，再用导数方法求解解： 设容器的高为x，容器的体积为V， 则V=(902x)(482x)x，(0x24) =4x3276x24320xV(x)=12 x2552x4320由V(x)=12 x2552x4320=0得x1=10，x2=
3、36 当0 x 0，y0，则另一个在抛物线上的顶点为(x，y)，在x轴上的两个顶点为(x，0)、(x，0)，其中0 x2设矩形的面积为S，则S2 x(4x2)，0 x2由S(x)86 x20，得x或x(舍)，当0x 0；当x2时，S(x)0，所以当x是S在(0，2)上的极值点，即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为和点评： 应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件，本题的关键是利用抛物线的方程，求出矩形的另一边长(2)费用最省问题例3 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米
4、(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?分析： 根据距离比速度等于时间，求出全程所用时间，根据单位时间内的耗油量与全程时间的积等于全程耗油量，列出目标函数，转化为利用导数求函数的最小值解：(1)当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 要耗没(升) 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油175升(2)当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升， 依题意得 令得 当时，是减函数； 当时，是增函数 当时，取到极小值 因为在上只有一个极值，所以它是最小值答：当汽
5、车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为1125升点评： 本题(1)是(2)的铺垫，本题(2)是导数完成的应用性问题，对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍，运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此还需要我们依据问题本身提供的信息，运用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择 例4 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合
6、建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在何处才能使水管费用最省?分析： 本题考查复合函数的导数及导数的应用适当选定变元，借助图象寻找各条件间的联系，构造相应的函数关系式，建立数学模型，通过求导和其他方法求出最值解：法一 根据题意，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总的水管费用最省，设C点距D点x km，则AC=(50x) km又BD=40 km， BC=， 又设总的水管费用为y元，依题意，则y=3a(50x)5a(0x50)y=3a，令y=0，解得x=30在(0，50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最
7、小值，此时AC=50x=20(km)供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省法二 设BCD=，则BC=， CD=40cot(0)，AC=5040cot设总的水管费用为f() ，依题意，有f()=3a(5040cot)5a=150a40a，f ()=40a令f ()=0，得cos=0， 0cos1，cos在(0，1)上只有一个极值点根据问题的实际意义，当cos=时，函数取得最小值，此时sin=，cot= AC=5040cot=20(km) ，即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省点评： 当要求的最大(小)值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个
8、为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f(x)另外本题的第一种解法中也可以用判别式法求出y的最小值而解法二中可以用数形结合的思想求解的最小值，此式化为，对于，视为动点(sin，cos)与定点(0，)连成的斜率，利用圆的切线求解(3)利润最大问题例5 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=1004q，价格p与产量q的函数关系式为p=25，求产量q为何值时，利润L最大分析： 利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格，由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润解：法一 收入，利润L=RC=()(1004q) =21 q100(0q200)，则=21
9、，令=0，即21=0，解得q=840q0；当84q200时，0，当q=84时，L取得最大值 答：产量为84时，利润L最大法二 (同法一)L=21 q100 =(168 q842)100 =(q 84)2782，所以当q=84时，L取得最大值782即产量为84时，利润L最大点评： 解决本题的关键是根据题意列出函数关系解法一是利用导数求最值，而解法二是利用配方法求最值，比较这两种方法，解法一运算量比较小，且适用范围广，具有一般性，而解法二的运算量大一些，且仅适用于二次函数求最值4自我检测(1)设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为 (2)内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为 (
10、3)一根长为了12cm的细铁丝，将其围成一个正四棱柱框架，当正四棱柱框架的容积最大时，底边长为 stOstOstOstO(4)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看S作时间t的函数，其图像可能是 三、课后巩固练习A组1将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱窗口的底面边长为 时，其容积最大2经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间的函数关系为：若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在的范围是_3
11、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_吨 4 把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为 5要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积为最大，则高为 6某种圆柱形饮料罐的容积V一定，若使它的用料最省，则它的高与底半径分别为 7将长为l的铁丝剪成两段，各围成长与宽之比为2：1及3：2的矩形，那么这两个矩形面积和的最小值为 8 斜边为定长的直角三角形，绕其一条直角边旋转一周得到一个圆锥问：这个圆锥的体积最大时的半径9 某商场从生产厂家以每件20元购进一
12、批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单元：元)有如下关系：Q=8300170pp2问该零售价定为多少时毛利润L最大?并求最大毛利润(毛利润=销售收入进货支出)B组10将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_11半径为r的圆的面积S(r)r2，周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： ，式可以用语言叙述为：_12 如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为(单位：米)的矩形，上部是斜边长为的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米 (1)求的关系式，并求的取值范围； (2)问分别为多少时用料最省?13 2020年奥运会在中国召开，某商场预计2020年从1月起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是(1)写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；(2)该商品
