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1、江苏省海安高级中学2020学年高二数学上学期入学考试试题(含解析)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设集合,集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求出集合,利用交集的定义即可求出【详解】由题可得:,所以故答案选D【点睛】本题考查集合交集的定义,属于基础题。2.已知角的终边经过点,则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义,求得sin的值【详解】解:角的终边经过点,则sin,故选:B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题3.已知函数则( )A. 3B. 1C. D. 【答案】D
2、【解析】【分析】根据分段函数的解析式,分别求出和即可。【详解】由于函数,所以,则,故答案选D【点睛】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查学生的计算能力,属于基础题。4.若直线与直线互相垂直,则的值为( )A. 1B. -1C. D. 【答案】C【解析】由两直线垂直充要条件得: ,选C.5.中角的对边分别为,且,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析:针对利用正弦定理边角互化可得,即,所以,所以.考点:本小题主要考查解三角形,正弦定理、余弦定理.6.下列命题正确的是( )A. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面B. 四边形确定一个平面C. 经过一条直线和一个点确定一
3、个平面D. 经过三点确定一个平面【答案】A【解析】【分析】对于A: 两两相交且不共点的三条直线,一共有三个不共线的交点,故可以确定一个平面;对于B:如果空间四边形,可以确定多个平面;对于C:点在线上,就确定多个平面;对于D:三点共线,能确定多个平面。【详解】对于A;两两相交不共点,所以有三个不共线的交点,根据公理,可以确定一个平面,故选项A正确;对于B:如果是空间四边形,可以确定多个平面,故选项B不正确;对于C:点在线上,就确定多个平面,故选项C不正确,;对于D:三点共线,能确定多个平面,故选项D不正确,所以本题选A。【点睛】本题考查了确定平面的问题。7.方程的解为,若,则( )A. B. C
4、. D. 【答案】C【解析】令,,.函数在区间上有零点。选C。8.(1tan 17)(1tan 28)的值是()A. 1B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】 ,选D.点睛:应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.9.函数的大致图象是( )A. B. C. D. 【
5、答案】A【解析】函数 ,可得 , 是奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D;当时, ,令 得:,得出函数在上是增函数,排除B,故选A.点睛:在解决函数图象问题时,主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据,得出是奇函数,其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性,从而得出正确选项10.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为,圆心角为的扇形,则圆锥的高为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过题意可知圆锥的母线长,通过半径为,圆心角为的扇形,可以求出圆锥底面的周长,进而求出半径的长,利用勾股定理,计算求得圆锥的高。【详解】扇形的半径为,圆心角为,所以弧长,因此圆锥的底面
6、周长为,所以圆锥底面半径=1,由题意可知圆锥的母线长为6,由勾股定理可知:圆锥的高故本题选A。【点睛】本题考查了求圆锥的高。解决本题的关键是圆锥与圆锥侧面展开图之间的联系。11.设,则有( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两角差的正弦公式化简,分子分母同乘以结合二倍角的正弦公式化简,利用降幂公式化简,从而可得结果.【详解】 ,故选A.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式,两角差的正弦公式,意在考查综合运用所学知识解答问题的能力,属于中档题.12.已知函数,则关于的不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数,从而可得在
7、上为奇函数,则,再利用导数可得的单调性,利用单调性即可求出的解,从而得到答案【详解】构造函数,即,则所以在上为奇函数,由于 所以,则在上为增函数,由于,可得,即,即,因为在上为增函数,所以,解得:,所以的解集为,故答案选A【点睛】本题考查对数的运算,奇偶函数的判断方法,根据函数导数符号判断函数单调性的方法,函数单调性的运用,有一定的综合性。二、填空题:将答案填在指定的位置上。13.已知数列满足,且,则_过点且与原点的距离为1的直线共有_条【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】由已知条件根据递推公式,依次求出数列的前4项,从而得到数列是以3为周期的数列,由此求出分别讨论斜率存在和不存在
8、情况下,直线的条数,即可得到答案。【详解】数列满足,且,所以数列是以3为周期数列,又,故当斜率不存在时,直线的方程为,显然到原点的距离为1,满足条件;当斜率存在时,设过点的直线方程为:,即,由已知可得:,解得:,此时有一条直线满足条件,综述可得过点且与原点的距离为1的直线共有2条。【点睛】本题考查数列的递推公式以及直线方程的求法,属于基础题。14.已知关于的不等式的解集为,则_【答案】-2【解析】 为方程两根,因此 15.三棱锥中,平面平面ABC,和均为边长是的正三角形,则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】取AC中点G,连接DG,BG,得到两个三角形中心E,F,进而得到球心O,
9、三角形OEB中,求得半径,得解【详解】如图,取AC中点G,连接DG,BG,E,F分别为中心,外接球球心为O,易知OEGF为正方形,求得,故答案:【点睛】此题考查了三棱锥外接球,难度适中16.已知向量,且与的夹角为钝角,则实数的取值范围为_【答案】【解析】因为与的夹角为钝角,所以,即,解得当与反向时,夹角为,此时,即,解得综上可得且,故实数的取值范围为【名师点睛】依据两向量夹角的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为时,;当夹角为时,这是容易忽略的地方三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.在中,已知(1)求角的大小;(2)求的值【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)
10、直接使用余弦定理即可得解;(2)法1:由(1)可以求出,由三角形内角和定理,可以求出的关系,用正弦定理,求出,进而求出,也就求出,最后求出的值;法2:直接利用余弦定理得,再利用同角的三角函数关系,求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值。【详解】解:(1)由余弦定理得:,因为,所以 (2)法1 由正弦定理得:,所以又因为,所以即,所以所以,因为所以,所以,所以 法2 直接利用余弦定理得,求得,所以【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理。18.已知数列满足:,(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前n项和,求证:【答案】(1)()(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据题意,可得,两者相减,即可
11、得到数列的通项公式,(2)由(1)得,利用裂项相消求出,从而可证【详解】(1)由已知得由,得时,-得,也适合此式,()(2)由(1)得,【点睛】本题考查数列的递推,考查数列的通项与求和,考查数列求和方法中的裂项相消,属于中档题。19.已知函数的最小正周期为求函数的单调递增区间;将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到函数的图象,求函数在区间上零点的和【答案】(1),;(2)【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的正弦函数的单调性,得出结论;(2)利用函数yAsin(x+)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,再根据正弦函数的零点的定义求出求函
12、数g(x)在区间0,5上零点的和【详解】解:函数的最小正周期为,令,求得,可得函数的增区间为,将函数的图象向左平移个单位长度,可得的图象;再向上平移2个单位长度,得到函数的图象令,求得,函数在区间上零点的和为【点睛】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的正弦函数的单调性,函数yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的零点,属于中档题20.已知三棱锥中,.若平面分别与棱、相交于点、,且平面, 求证:(1);(2).【答案】(1)见证明;(2)见证明【解析】【分析】(1)要证明 ,可以证明平面;(2)由已知线面平行,可以证出线线平行,利用线面平行的判定定理,可以证明出线面平行。【详解】(1),.又
13、平面,平面, 平面. 又 .(2)平面,平面平面 ,平面又,所以【点睛】本题考查了线线垂直、线面平行。21.如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆半径为1, 圆心在上.(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线方程;(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】(1)两直线方程联立可解得圆心坐标,又知圆的半径为,可得圆的方程,根据点到直线距离公式,列方程可求得直线斜率,进而得切线方程;(2)根据圆的圆心在直线:上可设圆的方程为,由,可得的轨迹方程为,若圆上存在点,使,只需两圆有公共点即可.【详解】(1)由得圆心,圆的半径为1,圆的方程为:,显
14、然切线的斜率一定存在,设所求圆的切线方程为,即,或所求圆的切线方程为或(2)圆的圆心在直线:上,所以,设圆心为,则圆的方程为又,设为,则,整理得,设为圆所以点应该既圆上又在圆上,即圆和圆有交点,由,得,由,得综上所述,的取值范围为考点:1、圆的标准方程及切线的方程;2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题