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1、高二数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷第1至第2页。第II卷第3至第4页。考试结束，将答题卡交回。满分150分，考试用时120分钟。第I卷（选择题，共60分）注意事项：1. 答题前，考生在答题卡上务必用黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号以及考号填写清楚，并用2B铅笔将考号对应的数字涂黑。2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，则(
2、)A. B C D2.设等差数列中，若，则（ ）A B C D 3.已知，则的值为（ ）A B C D4.棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A B C D5.某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程至少选一门，则不同的选课方案的种数有（ ）A B C D 6.曲线在点处的切线方程为（ ）A B C D7.如图所示的是计算某校高二年级500名学生期中考试(满分为100分)及格率的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）A B C D8.若变量满足约束条件则的最小值为（ ）A B C D 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D1
3、0.过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）A B C D11.设抛物线的焦点为，在上，若以为直径的圆过点，则的值为（ ）A或 B或 C或 D 或12.对实数定义运算“”： ，设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）A B C D 第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.为虚数单位，则 ；14. 的展开式中常数项为 （用数字作答）；15.已知向量，且，则实数 ；16.设数列满足，则的前60项的和为： .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本题满分10分）已知分
4、别为三角形三个内角的对边，且满足。（I）求角；（II）若，的面积为，求的值。18. （本题满分12分）已知为数列的前项和，且满足。（I）求数列的通项公式； （II）若，求数列的前项和。19.（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，是线段中点。（I）求证：；（II）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值。20（本题满分12分）为了增强市民的节能环保意识，本市面向全市征召义务宣传志愿者。从符合条件的名志愿者中随机抽取名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是，。（I）求图中的值并根据频率分布直方图估计这名志愿者中年龄在岁的人数；（II）在抽出的名志愿者中按年龄采用分层抽样
5、的方法抽取名参加中心广场的宣传活动，再从这名中采用简单的随机抽样方法选取名志愿者担任主要负责人。记这名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望。21. （本题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为，.(I)求椭圆的方程；(II)过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，求的取值范围。22（本题满分12分）设函数（为常数）。（I）当时，求的极值；（II）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。高 二 数 学（理科） 参考答案一、选择题1、B 2、A 3、A 4、C 5、C 6、A 7、D 8、A 9、C 10、B11、A 12、D二、填空题13、14、15
6、、16、 提示：当时，；当时，；当时，.将与相减得：；将与相加得：所以， 所以.三、解答题17、解：（I） (1分) 即即.（4分）又因为角为的内角，故。（5分）（II），即（7分）又， 即.（9分） 又为的边长，故。.（10分）18、解：（I），则 即，即，（4分） 因此，数列是以为公比的等比数列。 又，得 ，即。.（6分） （II）由（I）可知，故. 即 （8分） 则的（10分） 即 即（12分）19、解：（I）如图，连接，由题意可知，即，(2分)又平面，则，由平面，即（5分）（II）法一：几何法： 如图，过点作于点，取的中点为，连接和，则，易知平面，即，又，且， 平面，即，即为二面角的平
7、面角。.（8分）又因，则在中，有，又过点作于点，则易知，则。又，所以在中，有，所以二面角的余弦值为。.（12分）解法二（向量法）： 与平面所成的角为，即，则（6分） 建立如图空间直角坐标系，则由题意易知，。则，令为平面的一个法向量，则， 所以。又可以作为平面的一个法向量，（9分）又令二面角的平面角为，则由题意可知 所以二面角的余弦值为。（12分）20、解：（I）由题意及结合直方图可知，则.(2分)年龄在岁的人数为（人）(4分)(II)用分层抽样抽取的名中，由直方图和结合（I）易知，年龄低于岁的有名，年龄不低于岁的有人。.（6分）可取的值为，其分布列如下： 其中， .（10分）所求数学期望是.（
8、12分）21. 解：(1)由已知得（3分）解得,，则椭圆方程为（5分）(2)由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为（6分）由得（7分）由得（8分）设,则,.（9分）（10分），（11分）即得取值范围是（12分）22、解：（I）当时，函数，则.（1分）令得.当变化时，的变化情况如下表： 递增极大值递减极小值递增因此，当时，有极大值，且； 当时，有极小值，且；.（4分）（II）因为，则， 由得，由得，所以在上是减函数，在上是增函数，即. 又因对于任意的，不等式恒成立，则有即可.即不等式对于任意的恒成立。.（6分） .（1） 当时，则由得，由得.所以在上是增函数，在上是减函数， 所以符合题意。（8分）（2） 当时，由得，由得.所以在上是增函数，在上是减函数，则由得，所以此时符合题意。（10分）（3） 当时，由得，此时若当，由得或；由得，所以在上是增函数，易知此时可取到正值，这与对于任意时矛盾。同理，时也不成立。综上所述，的取值范围为。.（12分）
