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1、第6讲函数的概念本节主要内容有映射与函数的概念，函数的定义域和值域的求法，函数的对应法则f，分段函数和绝对值函数的图象A类例题例1 求下列函数的定义域：（1） （2）()解（1）要使函数有意义，必须，即，故函数定义域为（2）由题意知，函数的自变量x满足由于又，所以当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为说明 列出使解析式有意义的条件不等式，问题就可以转化为求不等式（组）的解，若含有参数，需对参数的取值进行讨论例2 已知函数的定义域为1，1，求函数（）的定义域分析 函数的定义域是，的定义域的交集，其中和有相同的取值范围1，1，解题过程中应注意参数a的取值范围，必要时应对a
2、分类讨论解 由题意得 因为，所以当时，不等式组的解集为，此时函数的定义域是；当时，不等式组的解集为，此时函数的定义域是说明 一般的，若函数的定义域为，则函数的定义域由不等式决定例3 求下列函数的值域：（1）； （2）； （3）；（4）；（5）解 （1）令（），则，所以 又，故，即函数的值域为说明 函数可以看作由函数和复合而成，即为了求函数的值域，可以先通过函数求出t得取值范围，再由t的取值范围，通过函数求出的取值范围链接 设是A到B上的函数，是B/到C/上的函数，且，当t取遍B中元素时，y取遍C（），那么函数就是A到C上得函数，叫做复合函数（2）由y，得 (y2)x2(y2)xy30 ，当y2
3、时， 式不成立，无对应的实数x，当y2时，(y2)24(y2)(y3)0，解得或y2。 或y2，即函数的值域为又解：=2+，令，由，故的取值范围是，即函数的值域为（3）=（），所以，即函数的值域为说明形如的函数的值域常常利用判别式加以求解在解题过程中，一要注意和有无公因式，若有，可以先约分，进而转化为（注意定义域）的形式；二要注意对转化后的二次项系数是否为0进行讨论 链接 若将y看作常数，所给函数便可以看作是关于x的方程若可以变形为关于x的二次方程，则可以利用判别式非负来求y的取值范围，但需注意取等号的问题（4）表示数轴上坐标为x的点P到点A（1）、B（2）、C（3）的距离之和，观察动点的位置
4、，显然当P落在B点，即x=2时，达到最小值，故值域为2，）说明一般地，数轴上若有点A1，A2，An，且，则，当n为奇数时，x对应点落在中间点上时，取最小值；当n为偶数时，x对应点落在中间两点之间（包括两点）时，取最小值(5)表示动点P（x，0）到定点A（1，1）、B（1，1）的距离之和，故，即函数的值域为说明 利用几何图形的直观性是求值域的一种方法本题还可以利用基本不等式（a0，b0) 求值域 ，当且仅当x=0时取等号，故函数的值域为要注意，解题时等号能否取到链接 若数轴上有点A，B，坐标分别为，则A，B两点间的距离AB=；若平面上有点A，B，坐标分别为A（）、B（），则A，B两点间的距离AB
5、=情景再现1若函数的定义域为A，y=f f (x)的定义域为B，则( ) A BC D2已知函数的定义域为，求函数 的定义域3（1）函数y=的值域为 。（河南省1999年高中数学竞赛)（2）函数的最小值是（ ）A1 B2 C D（2005年四川数学竞赛）B类例题例4 设，计算和（1995年第二十七届加拿大数学奥林匹克题改编）分析 注意到，所以可以考虑和之间的关系解 由于=，因此 ，（）从而=例5 函数=，1，该函数的最大值是25，求该函数取最大值时自变量x的值分析 限定在区间；1上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况二次函数=(R)的图象是对称轴为，开口向下的抛物线，与区间，1的位置关
6、系决定了已知函数的单调状况，因此要分情况讨论解 二次函数=图象的对称轴为，当，1，即时，最大值应是由=25得，不符合的条件故；当1，即时，函数=，1是增函数，故，解之得=或=其中=不合的条件，舍去此时x=1=1=当，即时，函数=，1是减函数，故，解之得=或=其中=不合的条件，舍去此时x= 综上所述，当=或=时，函数有最大值25说明 二次函数在给定区间上的值域（或最值）问题，常常需要考察对称轴与区间的关系，进而研究二次函数在给定区间上的单调性 本题也可以换个角度思考：函数=，1的最大值只可能在区间的端点和对称轴三个位置取到，可以通过先计算，后验证的方法求解例6 设集合9，N，定义P到Z的映射：（
7、若都是中的元素，且满足：（ ）39，（66，试求的值（1986年北京市高一赛题）分析 注意到由（ ）39，（66可以得到关于的两个方程，且全是正整数，故可以考虑整数的质因数分解解 由题意得： （1） （2）（1）（2）得（3）（2）（1）得 （4）由于09，18，09，18，所以由（3）、（4）可得 =7，=15，=3，=9，解得，故例7 设，对于任意的，记，试求出的最小值分析 令，先研究的单调性，从而求出的表达式解 令=，则，。当时，由于是一个不减的函数，故有，此时 当时，函数先减后增，故。比较和知，当时，当时，当时，函数是不增的，故，此时由上述讨论知显然情景再现4已知函数则 5函数f(x)
8、=9x26ax2aa2在区间，上的最大值为3，则a的值可为( )A B C2 D2（上海市1985年高中数学竞赛）6某出版公司为一本畅销书定价如下：C(n)=这里n表示订购书的数量，C(n)是订购n本书所付的书款数(单位：元)。有多少个n，会出现买多于n本书比恰好买n本书所花的钱少？若一本书的成本为5元，现有两个人来买书，每人至少买1本，两 人共买60本，则出版公司至少能赚多少钱？至多能赚多少钱？（上海市2001年高中数学竞赛）C类例题例8 定义域为正整数的函数f满足，求（1990年日本第一轮选拔赛题）分析，又因为，得到的运算规律解 记，m=1，2，3，则，因为， ， ， 所以，是以4为周期，
9、循环取值997，998，999，1000， 又1314=32余3，所以说明 于这类问题，常常通过有限次的试验去寻找规律，进而解决问题，严格的解应利用数学归纳法证明。链接 在复合函数中，有一类重要的情形，即函数迭代：设函数，记，其中n是正整数，叫做函数的n次迭代显然，情景再现7已知是定义在R上的函数，且对任意的，都有；若，求的值 （2002年全国联赛题改编）习题131设，对于函数满足条件，那么对所有的，_。（2005年湖南数学竞赛）2若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 。3函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在33上的最小值是 。(北京市1996年高一数学竞赛)4设f(x)是
10、一次函数，且对一切实数t，f(2t+1)=4t2+2t6则f(x)=0的根是 。（上海市1994年高中数学竞赛)5函数f(x)=|x2a|在区间1，1上的最大值M(a)的最小值等于 。（北京市1996年高一数学竞赛)6函数y=x+的值域为 （2001年全国高中数学联赛)7若两数19x1，92x74的最大值非负，则实数x的取值范围是 。(上海市1992年高中数学竞赛)8设P(x)x4ax3bx2cxd，其中a，b，c，d是常数如果P(1)10，P (2)20，P(3)30，则P(10)P(6) 。（上海市1992年高中数学竞赛)9已知函数的最小值是2，最大值是6，求实数a、b的值。10函数f定义
11、在整数集上，且满足 f(n)=求f(84)(1984年第2届美国数学邀请赛)11若关于x的不等式1，则当3x=1时，f(x)max=a24a1=3，a=2，其中a=2满足a1；若a1，则当3x=1时，f(x)max=a21=3，a=，a=故选C6解：C(25)27522，即可取n23，24两种情况C(49)49044，即可取n45，46，47，48四种情况 共有6个n值，使买多于n本书比恰好买n本书所花钱少 用P记花钱数设较少买者买x本，1x30若60x49，即1x11，则花钱12x10(60x)6002x此时花钱数602P62；若12x24，则3660x48花钱12x11(60x)660x。
12、此时672P684.若25x30，则3060x35，花钱6011660成本605300 出版公司至少能赚602300302元，至多能赚684300384元7解：由后式，f(x+5)f(x+4)1f(x+3)2f(x+2)3f(x+1)4f(x)5比较（1）式得f(x+5)=f(x)+5由（2）得f(x)= f(x+5)5f(x+4)4f(x+3)3f(x+2)2f(x+1)1f(x)，所以f(x+1)= f(x)1。所以 f(x)=x对一切xN*成立，所以对于xN*，g(x)=f(x)+1x=x+1x=1， g(2007)=1习题”解答：1解：用换元法可得。2解：若，当a=1时，定义域为R，适合；当a=1时
