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1、选修2-2 2.2.2 一、选择题1否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是()A有一个解B有两个解C至少有三个解 D至少有两个解答案C解析在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”,故应选C.2否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()Aa、b、c都是奇数Ba、b、c或都是奇数或至少有两个偶数Ca、b、c都是偶数Da、b、c中至少有两个偶数答案B解析a,b,c三个数的奇、偶性有以下几种情况:全是奇数;有两个奇数,一个偶数;有一个奇数,两个偶数;三个偶数因为要否定,所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”故应选B.3用反证法证明
2、命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时,反设正确的是()A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60答案B解析“至少有一个不大于”的否定是“都大于60”故应选B.4用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是()A假设a,b,c都是偶数B假设a、b,c都不是偶数C假设a,b,c至多有一个偶数D假设a,b,c至多有两个偶数答案B解析“至少有一个”反设词应为“没有一个”,也就是说本题应假设为a,b,c都不是偶数5命题“ABC中,若AB,则ab”的结论
3、的否定应该是()Aab”的否定应为“ab或a0,x11且xn1(n1,2),试证“数列xn或者对任意正整数n都满足xnxn1”,当此题用反证法否定结论时,应为()A对任意的正整数n,都有xnxn1B存在正整数n,使xnxn1C存在正整数n,使xnxn1且xnxn1D存在正整数n,使(xnxn1)(xnxn1)0答案D解析命题的结论是“对任意正整数n,数列xn是递增数列或是递减数列”,其反设是“存在正整数n,使数列既不是递增数列,也不是递减数列”故应选D.二、填空题11命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_答案没有一个是三角形或四边形或五边形解析“至少有一个”的
4、否定是“没有一个”12用反证法证明命题“a,bN,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么反设的内容是_答案a,b都不能被5整除解析“至少有一个”的否定是“都不能”13用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:ABC9090C180,这与三角形内角和为180相矛盾,则AB90不成立;所以一个三角形中不能有两个直角;假设A,B,C中有两个角是直角,不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_答案解析由反证法证明的步骤知,先反证即,再推出矛盾即,最后作出判断,肯定结论即,即顺序应为.14用反证法证明质数有无限多个的过程如下:假设_设全体质数为p1、p2、p
5、n,令pp1p2pn1.显然,p不含因数p1、p2、pn.故p要么是质数,要么含有_的质因数这表明,除质数p1、p2、pn之外,还有质数,因此原假设不成立于是,质数有无限多个答案质数只有有限多个除p1、p2、pn之外解析由反证法的步骤可得三、解答题15已知:abc0,abbcca0,abc0.求证:a0,b0,c0.证明用反证法:假设a,b,c不都是正数,由abc0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数,不妨设a0,b0,则由abc0,可得c(ab),又ab0,c(ab)(ab)(ab)abc(ab)(ab)(ab)ab即abbcca0,ab0,b20,a2abb2(a2abb2)0,即a
6、bbcca0矛盾,所以假设不成立因此a0,b0,c0成立16已知a,b,c(0,1)求证:(1a)b,(1b)c,(1c)a不能同时大于.证明证法1:假设(1a)b、(1b)c、(1c)a都大于.a、b、c都是小于1的正数,1a、1b、1c都是正数.,同理,.三式相加,得,即,矛盾所以(1a)b、(1b)c、(1c)a不能都大于.证法2:假设三个式子同时大于,即(1a)b,(1b)c,(1c)a,三式相乘得(1a)b(1b)c(1c)a3因为0a1,所以0a(1a)2.同理,0b(1b),0c(1c).所以(1a)a(1b)b(1c)c3.因为与矛盾,所以假设不成立,故原命题成立17已知函数f
7、(x)是(,)上的增函数,a,bR.(1)若ab0,求证:f(a)f(b)f(a)f(b);(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论解析(1)证明:ab0,ab.由已知f(x)的单调性得f(a)f(b)又ab0baf(b)f(a)两式相加即得:f(a)f(b)f(a)f(b)(2)逆命题:f(a)f(b)f(a)f(b)ab0.下面用反证法证之假设ab0,那么:f(a)f(b)f(a)f(b)这与已知矛盾,故只有ab0.逆命题得证18(2020湖北理,20改编)已知数列bn的通项公式为bnn1.求证:数列bn中的任意三项不可能成等差数列解析假设数列bn存在三项br、bs、bt(rsbsbr,则只可能有2bsbrbt成立2s1r1t1.两边同乘3t121r,化简得3tr2tr22sr3ts,由于rst,所以上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾故数列bn中任意三项不可能成等差数列