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1、第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2020安徽文，2)已知i21，则i(1i)()A.iB.iCi Di答案B解析该题考查复数的四则运算i(1i)i2ii，故选B.2复数z1在复平面内所对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析z11i，故复数z所对应的点为(1,1)，在第一象限3复数10的值是()A1 B1C32 D32答案A解析本题主要考查复数的基本运算，i，(i)101，故选A.4若z1(x2)yi与z23xi(x、yR)互为共轭复数，则z1
2、对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析由已知得z13i，故选C.5对于复平面，下列命题中真命题的是()A虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的C实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的答案D解析复数的几何意义是平面内的点与复数建立一一对应关系，其中实数对(a，b)对应复数的实部与虚部6设复数z满足z|2i，那么z等于()Ai B.iCi D.i答案D解析方法一：设zxyi(x，yR)，则xyi|xyi|2i，即xyi2i，把y1
3、代入x2中，得x2，x，zi.方法二：代入法验证答案易得7复数z满足方程|z|4，那么复数z的对应点P组成的图形为()A以(1，1)为圆心，4为半径的圆B以(1，1)为圆心，2为半径的圆C以(1,1)为圆心，4为半径的圆D以(1,1)为圆心，2为半径的圆答案C解析|z|z(1i)|z(1i)|4，设1i的对应点为C(1,1)，则|PC|4，因此动点P的轨迹是以C(1,1)为圆心，4为半径的圆8若x是纯虚数，y是实数，且2x1iy(3y)i，则xy等于()A1i B1iC1i D1i答案D解析设xit(tR且t0)，于是2ti1iy(3y)i，1(2t1)iy(3y)i，xy1i.9已知复数(x
4、2)yi(x，yR)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是()A. B.C. D.答案D解析因为|(x2)yi|，所以(x2)2y23，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识知.10设复数z为虚数，条件甲：z是实数，条件乙：|z|1，则()A甲是乙的必要非充分条件B甲是乙的充分非必要条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件答案C解析本题考查复数的运算和充要条件的判断设zabi(b0且a，bR)，则zabii.因为z为实数，所以b.因为b0，所以a2b21，所以|z|1.而当|z|1，a2b21，条件甲显然成立11如果复数z满足条件
5、|2z1|zi|，那么在复平面内z对应的点的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案A解析设zabi(a，bR)，则|(2a1)2bi|a(b1)i|，所以(2a1)24b2a2(b1)2，化简，得3a23b24a2b0，此为圆的方程12设z(2t25t3)(t22t2)i，tR，则以下结论正确的是()Az对应的点在第一象限Bz一定不为纯虚数C.对应的点在实轴的下方Dz一定为实数答案C解析t22t2(t1)210，z对应的点在实轴的上方又z与对应的点关于实轴对称C项正确二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13(2020上海文，4)若复数z12i(i
6、为虚数单位)，则zz_.答案62i解析本题考查了复数的基本运算z|z|25，原式5(12i)62i.14已知复数z1cosisin，z2cosisin，则复数z1z2的实部是_答案cos()解析z1z2(cosisin)(cosisin)coscossinsin(cossinsincos)icos()sin()i故z1z2的实部为cos()15实数m满足等式|log3m4i|5，则m_.答案27或解析本题考查有关复数模的运算由|log3m4i|5，得(log3m)21625，(log3m)29，所以log3m3，m27或m.16设0,2，当_时，z1sini(cossin)是实数答案或解析本题
7、主要考查复数的概念z为实数，则cossin，即tan1.因为0,2，所以或.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)已知复数z满足zi()1，求z.解析将方程两边化成abi的形式，根据复数相等的充要条件来解设zxyi(x，yR)，则x2y2i1()，即x2y23y3xi13i，由复数相等得解得或z1或z13i.18(本题满分12分)已知复数x2x2(x23x2)i(xR)是复数420i的共轭复数，求实数x的值解析因为复数420i的共轭复数为420i，由题意得x2x2(x23x2)i420i，根据复数相等的充要条件，得方程的解为x3或
8、x2.方程的解为x3或x6.所以实数x的值为3.点评本题主要考查共轭复数的概念和复数相等的充要条件19(本题满分12分)已知z1i，(1)求wz234(2)如果1i，求实数a、b.解析(1)w1i(2)(a2)(ab)i(a2)(ab)i1ia1b220(本题满分12分)设a、b为共轭复数，且(ab)23abi46i，求a和b.解析a、b为共轭复数，设axyi(x，yR)则bxyi，由(ab)23abi46i，得(2x)23(x2y2)i46i，即a1i，b1i；a1i，b1i；a1i，b1i；a1i，b1i.21(本题满分12分)证明：在复数范围内，方程|z|2(1i)(1i)z无解证明原方
9、程可化简为|z|2(1i)(1i)z13i.设zxyi(x，yR)，代入上述方程，整理得x2y22xi2yi13i，根据复数相等的充要条件，得将代入，消去y整理，得8x212x50.因为160，所以上述方程无实数解所以原方程在复数范围内无解点评本题主要考查复数代数形式的运算，解决本题的关键是将复数问题转化为实数问题来求解22(本题满分14分)复数z满足|zi|zi|2，求|z1i|的最大值与最小值解析在复平面内，|zi|zi|2表示复数z对应的点Z到点A(0，1)，B(0,1)的距离之和为2，而|AB|2，所以点Z的轨迹为以A，B为端点的线段(包括两端点)而|z1i|z(1i)|表示点Z到点C(1，1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB上的点到点C的距离的最大值与最小值，如右图易知|z1i|max|BC|，|z1i|min|AC|1.点评本题主要考查复数|zz1|的几何意义，即|zz1|表示复数z与z1对应的两点之间的距离利用数形结合法是求解本题的关键
