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1、选修2-2 1.3.1 一、选择题1设f(x)ax3bx2cxd(a0),则f(x)为R上增函数的充要条件是()Ab24ac0Bb0,c0Cb0,c0 Db23ac0,f(x)为增函数,f(x)3ax22bxc0恒成立,(2b)243ac4b212ac0,b23ac0,解得x2,故选D.3已知函数yf(x)(xR)上任一点(x0,f(x0)处的切线斜率k(x02)(x01)2,则该函数的单调递减区间为()A1,) B(,2C(,1)和(1,2) D2,)答案B解析令k0得x02,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(,24已知函数yxf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)
2、的导函数),下面四个图象中,yf(x)的图象大致是()答案C解析当0x1时xf(x)0f(x)1时xf(x)0,f(x)0,故yf(x)在(1,)上为增函数,因此否定A、B、D故选C.5函数yxsinxcosx,x(,)的单调增区间是()A.和B.和C.和D.和答案A解析yxcosx,当x时,cosx0,当0x0,yxcosx0.6下列命题成立的是()A若f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何x(a,b),都有f(x)0B若在(a,b)内对任何x都有f(x)0,则f(x)在(a,b)上是增函数C若f(x)在(a,b)内是单调函数,则f(x)必存在D若f(x)在(a,b)上都存在,则f(x)必
3、为单调函数答案B解析若f(x)在(a,b)内是增函数,则f(x)0,故A错;f(x)在(a,b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系,故C错;f(x)2在(a,b)上的导数为f(x)0存在,但f(x)无单调性,故D错7(2020福建理,11)已知对任意实数x,有f(x)f(x),g(x)g(x),且x0时,f(x)0,g(x)0,则x0,g(x)0 Bf(x)0,g(x)0Cf(x)0 Df(x)0,g(x)0答案B解析f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反),x0,g(x)0.8f(x)是定义在(0,)上的非负可导函数,且满足xf(x)f
4、(x)0,对任意正数a、b,若a0,f(x)0,f(x),即f(x)在(0,)上是减函数,又0ab,af(b)bf(a)9对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f(x)0,则必有()Af(0)f(2)2f(1)答案C解析由(x1)f(x)0得f(x)在1,)上单调递增,在(,1上单调递减或f(x)恒为常数,故f(0)f(2)2f(1)故应选C.10(2020江西理,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)0),则导函数yS(t)的图像大致为()答案A解析由图象知,五角星露出水面的面积的变化率是增减增减,其
5、中恰露出一个角时变化不连续,故选A.二、填空题11已知yx3bx2(b2)x3在R上不是单调增函数,则b的范围为_答案b2解析若yx22bxb20恒成立,则4b24(b2)0,1b2,由题意b1或b2.12已知函数f(x)axlnx,若f(x)1在区间(1,)内恒成立,实数a的取值范围为_答案a1解析由已知a在区间(1,)内恒成立设g(x),则g(x)0(x1),g(x)在区间(1,)内单调递减,g(x)g(1),g(1)1,1在区间(1,)内恒成立,a1.13函数yln(x2x2)的单调递减区间为_答案(,1)解析函数yln(x2x2)的定义域为(2,)(,1),令f(x)x2x2,f(x)
6、2x10,得x,函数yln(x2x2)的单调减区间为(,1)14若函数yx3ax24在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是_答案3,)解析y3x22ax,由题意知3x22axx在区间(0,2)上恒成立,a3.三、解答题15设函数f(x)x33ax23bx的图象与直线12xy10相切于点(1,11)(1)求a、b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性解析(1)求导得f(x)3x26ax3b.由于f(x)的图象与直线12xy10相切于点(1,11),所以f(1)11,f(1)12,即,解得a1,b3.(2)由a1,b3得f(x)3x26ax3b3(x22x3)3(x1)(x3)令f(x)0,解得x3;又令f(x)0,解得1x0;当x(1,0)时,f(x)0.故f(x)在(,1,0,)上单调递增,在1,0上单调递减(2)f(x)x(ex1ax)令g(x)ex1ax,则g(x)exa.若a1,则当x(0,)时,g(x)0,g(x)为增函数,而g(0)0,从而当x0时g(x)0,即f(x)0.当a1,则当x(0,lna)时,g(x)0,g(x)为减函数,而g(0)0,从而当x(0,lna)时g(x)0,即f(x)0.综合得a的取值范围为(,1