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1、列二轮复习建议数一、高考地位与考查要求（一）数列地位数列是刻画离散现象的数学模型，数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义，是高中代数的重要内容之一.在高考中承载着对高中数学抽象概括能力、运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考察.因此，在历届高考中，数列作为必考题，其难度属于中、高档难度.江苏考试说明中的考查要求内容要求ABC数 列数列有关概念等差数列等比数列（二）考查动向在2011年全国18套高考试卷中，考查数列基本量和基本性质的有天津、上海、全国、湖南、重庆、北京、广东、福建（解答题）、辽宁（解答题）、全国新课标（解答题）、山东理（解答题）， 考查数列
2、递推的有四川、江西、安徽、江苏（解答题）、安徽（解答题）、广东（解答题），考查数列综合问题有四川、福建、湖北、江苏、北京（解答题）、湖北（解答题）、全国（解答题）、上海（解答题）、四川（解答题）、天津（解答题）、浙江（解答题）、湖南（解答题）、陕西（解答题）.江苏08-11数列高考题考查方向：08填空题：第10题，关于等差数列的数阵求下标号（实际求n）；解答题：倒数第2题(考试说明上的始终不变的题).09填空题：第10题，关于等比数列求q；解答题：第17题(关于等差数列求基本量和求n).10填空题：第8题，与切线结合的等比数列求和；解答题：倒数第2题(等差数列求基本量及与不等式的综合问题).1
3、1填空题：第13题，等差、等比与不等式的综合；解答题：最后一题(等差数列求基本量及递推问题).分析近两年数列高考题出现的频率和位次，发现数列在江苏高考中始终不变的是一小一大，小题为中难度题，解答题几乎都为难题，考查内容都是关于等比及等差数列的问题，小题几乎都涉及到等比数列，大题几乎都为等差数列，而且09、10和11都围绕同一个数列an=2n-1来展开设计，值得深思.这些分析说明，江苏高考数列题目与考试说明上的C级要求是一致的，即系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题，因此数列是江苏数学高考的一个重要的内容.高考题型一般有三种：1、关于等差、等比数列的基本量问题，一般是求
4、项、求和，较高的要求是求项数n(如2009第17题)；2、通过递推或探索来判断数列及其性质的问题，常用的方法有累加、累乘法；3、等差、等比数列与方程、不等式或简单的整数问题的综合(一般不与函数综合).如果数列问题出现在最后一两题，则是综合性很强的问题，大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式、简单数论等知识，通过运用递推、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力和数学探索创新的能力.二、基本题型与基本策略基本题型一：运用基本量思想解决等差、等比数列的求项、求和问题例1.（1）（2011辽宁理17） 已知等差数列an满
5、足a2=0，a6+a8=-10.求数列 an 的通项公式；求数列的前n项和说明：这是一道典型的运用基本量思想求数列和的问题，根据a2=0，a6+a8=-10，可以列出关于的方程两个二元一次方程方程，通过加减消元或带入消元接出的值；同时注意到个方程数列项下标特征，根据等差数列的性质a6+a8=2a7=-10，得到a7=-5，从而d=( a7- a2)=-1.变式：（2010全国卷理科数学4）已知各项均为正数的等比数列中，=5，=10，则说明：表面看这是一道可以用基本量思想解决的问题，但在实际操作过程中发现，使用基本量列出方程组计算量较大，要得到结果还需借助指数幂的运算性质，易出错.如果仔细观察已
6、知条件与所求结论的关系，不难发现，运用等比数列的性质可以很快得到选择恰当的方法有时可以大大简化我们的计算，为考试赢得宝贵的时间，而恰当方法的选择，借助于我们认真审题和知识的融会贯通.（2）等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和说明：这也是一道典型的运用基本量思想求数列和的问题，同时也是一道简单地将等差数列和等比数列组合在一起的问题，通过和成等比数列可以直接列出两个关于基本量的方程组：，此方程组是由一个二元一次与一个二元二次方程组合而成，宜采先化简再带入消元法的方法求解，第二个方程可化简为，学生特别容易将d直接消去，导致漏解的错误.最终结果=200或330.此种题型方法常规，思路明确，计算
7、量适中，属容易题.例2.（2011全国新课标理17） 已知等比数列的各项均为正数，且求数列的通项公式；设，求数列的前n项和说明：设数列an的公比为q，由得所以由条件可知q0，故由得2a1+3a1q=1，所以故数列an的通项式为an =略.例3. (江苏2010、19、（本小题满分16分）)设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。求数列的通项公式（用表示）；略.说明：解决这个问题的关键是学生要弄清楚哪个数列是等差数列，是，不是，所以问题求解应围绕着等差数列展开，因为(n-1)d，所以Sn=(n-1)d2，基本量应是和，由题意是已知量，故只需求出，把题目条件转换为即，代入S
8、n=(n-1)d2得，化简，得：，当时，适合情形.故所求.第一问对南京的大部分学生是有难度的，但是作为数列的第一问又是必须要掌握的.基本策略：等差、等比数列是两类最基本的数列，它们的通项公式、前n项和的公式中均含有两个基本量，因此数通过基本量思想求解等差等比的通项和前n项和是高考考查的重点也是热点.在运用基本量思想解决问题时，要注意以下两个方面：1、基本两思想在解决问题时比较程序化，认真审题选择恰当的方法是关键，有两个性质有时可以简化我们的计算（在等差数列中，若则在等比数列中若则）；2、在计算过程中注意观察表达式的特征，灵活地运用计算方法在等差数列求和的问题中，首先是确定通项，选择恰当的求和公
9、式，在等比数列求和中要注意q =1的情况单独讨论.3、应不断强化学生头脑中的等差及等比数列的意识，认真分析题目中的条件，看清“谁”是等差或等比数列，那么解题中就应紧紧抓住这个数列不放.基本题型二：与递推有关的数列问题例4. （2011四川理8）数列的首项为，为等差数列且若则，则_.说明：由已知知由叠加法一般地，使用累加法求通项的递推形式为，使用累乘法求通项的递推形式为，使用错位相减法求和的通项公式为.例5. (江苏2010、8)函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_.说明：此题不难，但题目很长，等差还是
10、等比要通过层层运算才能确定，需要学生具备较好的运算能力，由题意，在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以又a1=16，所以数列an为等比数列，.对于这样不难但运算很长的题目，也是南京不少学生的薄弱环节，平时在教学中要告诫学生，要静下心来认真运算，那怕慢一点，也要确保正确.例6. （2011江苏20）设为部分正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数都成立设设的值；设的通项公式.说明：由题设知，当，在表达式中同时出现an，S n，但题目是求a5，所以采用的方法是运用公式，将表达式转化为都关于an的式子，然后再进行求解.所以， 从而所以数列an是等差数列. 所以的值
11、为8. 略.基本策略：一般数列的求项求和问题大多以递推通项为背景，通过常见的公式、累加、累乘、构造等方法对递推公式进行变形，最终转化为我们熟知的等差、等比数列的定义式进行求解，有时候在构造过程中我们会用到多种构造方法，但最后的目的还是将未知的数列转化为我们已知的数列进行求解. 公式要求每一个学生都掌握并会运用，其它类型的递推，由于类型较多，根据江苏教学要求及历年高考中考查的问题，一般要求不高，复习时建议不同层次的学校根据学生特点进行复习，几种基本的递推模型人人掌握，对于变形巧妙，难度较大的问题，讲解时可预设台阶或视学生情况选讲.基本题型三：数列的综合问题（与不等式、方程等知识的综合）例7. 数
12、列是等比数列，8，设（），如果数列的前7项和是它的前n项和组成的数列的最大值，且，求的公比q的取值范围说明：这是一道较为简单的数列与函数、不等式结合的问题，解题步骤如下：因为为等比数列，设公比为q,由则， 为首项是3，公差为的等差数列；由最大，且 且 即从解题的过程可以看出此题运用到对数运算性质、简单对数不等式的解法，数列在题中作为问题的载体，仅用到基本的等差等比通项知识.例8. (江苏2009、10)设是公比为的等比数列，令若数列有连续四项在集合中，则 .说明：基础不好的学生会不知所措，找不到下手的地方，若学生能抓住等比数列不放，则问题转化为数列有连续四项在集合中，到此，学生可逐一作商寻找，
13、也可利用性质，注意到五个数中有三正两负，根据等比数列的性质，等比数列的项只能是正负相间，又故数列的连续四项应为18，24，36，54. 本题的命题意图本题主要考查等比数列的基本概念，对于公比为负的等比数列的基本结构要有比较清晰的理解；可以直接计算求解，也可利用等比数列的性质求解.考查学生灵活运用知识的能力.本题属难题. 由于不同层次的学生会选用优劣不一的方法，解题效率上会有差异，决定了本题具有较好的区分度.例9(江苏2011、13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_.说明：有等差又有等比，基本量在哪儿，注意到已知d=1，所以a2为等差的基本量，先用基本量表示已
14、知条件得，再注意到结论为求q的最小值，所以a2+1、a2+2应尽可能的小，故a2a11，可得，所以，.这是一道与不等式结合的数列综合题，要想快速求解需要学生有较好的数学素养，甚至解题过程还需要直觉的成份，显然死记硬背式的学习对解决这样的问题是行不通的的，因此在数列教学中，我们更要关注学生对数列的深入理解，以及数学素养的教育.例10. （1）设 ，是各项均不为零的n (n4) 项等差数列，且公差d0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值（2）求证：存在一个各项及公差均不为零的 () 项等差数列, 任意删去其中的k项（1kn3），都
15、不能使剩下的项（按原来的顺序）构成等比数列说明：本题以等差数列、等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力本题属难题首先证明一个“基本事实”：一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d00事实上，设这个数列中的连续三项ad0，a，ad0成等比数列，则a2( ad0)( ad0)，由此得a2d02，故d00（1）（i）当n4时，由于数列的公差d0，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或a3若删去，则由成等比数列，得因d0，故由上式得，即此时数列为4d，3d，2d，d，满足题设若删去，则由成等比数列，得因d0，故由上式得，即此时数列为d，2d，3d，4d，满足题设综上可知的值为4或1(ii) 当n6时，则从满足题设的数列，中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列，的公差必为0，这与题设矛盾所以满足题设的数列的项数n5又因题设n4，故n4或5
