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1、第9课时 解三角形复习课(1)、(2)学习要求 1 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；2 能利用计算器解决三角形的计算问题。【课堂互动】自学评价1正弦定理：(1)形式一：= 2R ；形式二：；（角到边的转换）形式三：，；（边到角的转换）形式四：；（求三角形的面积）(2)解决以下两类问题： 1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解） 2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。(3)若给出那么解的个数为：若，则无解；若，则一解；若，则两解；2余弦定理：(1)形式一：，听课随笔形式二：，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知
2、三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）【精典范例】一、判定三角形的形状【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1) 若a2tanB=b2tanA；(2) b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;(3) (3)(sinA + sinB + sinC) (cosA + cosB + cosC)=1.【解】(1)由已知及正弦定理得(2RsinA)2 = (2RsinB)2 2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A + B)sin(A B)=0 A + B=90o 或 A B=0所以ABC是等腰三
3、角形或直角三角形.(2)由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC sinBsinC0, sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, B + C=90o, A=90o,故ABC是直角三角形.(3)(sinA + sinB + sinC) (cosA + cosB + cosC)=12sincos+ sin(A + B) 2coscos+ 2cos2- 1=02sincos+ sin(A + B) 2coscos - 2sin2=0(sin- cos)(cos- sin)=0sin( - )sinsin=0ABC是Rt.二、三角形中的求角或求边长问
4、题【例2】ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使DEF是等边三角形.设FEC=，问sin为何值时，DEF的边长最短？并求出最短边的长。分析：要求最短边的长，需建立边长关于角的目标函数。【解】设DEF的边长为x，显然C=90，B=60，故EC=xcos。因为DEC=DEF+=EDB+B，所以EDB=。在BDE中，由正弦定理得，听课随笔所以 ，因为BE+EC=BC，所以，所以 当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。【例3】在ABC中，已知sinB=, cosA=, 试求cosC的值。【解】由cosA=，得sinA=, s
5、inBsinA, B中能是锐角 cosB=,又 cosC= - cos(A + B)=sinAsinB cosAcosB=.【例4】在ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.【解】设E为BC的中点，连接DE，则DE/AB，且DE=在BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED22BEEDcosBED，【例5】在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且. （）求的值；（）若，求bc的最大值. 【解】() = = () 听课随笔,又 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.三
6、、解平面几何问题【例6】已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。 分析：连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出A、C，这可由余弦定理列方程求得。【解】四边形ABCD的面积S=.注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运追踪训练一1. ABC中a=6,b=6 A=30则边C=（ C ）A、6 B、12 C、6或12 D、62. ABC中若sin(A+B) ，则ABC是（ B ）A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形3. ABC中若面积S=则C=（ C ）A B C D4.ABC中已
7、知A=60，AB =AC=8：5，面积为10，则其周长为 20 ;5.ABC中A：B：C=1：2：3则a：b：c= 1:2 . 【选修延伸】四、解实际应用问题【例7】某观测站C在A城的南偏西20方向，由A城出发有一条公路定向是南偏东40，由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D处，此时测得C、D间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城。【解】由已知得CD=21，BD=20，CB=31，CAD=60。设AD=x，AC=y。在ACB和ACD中，分别由余弦定理得，听课随笔人以v的速度至少还要走3h才能到达A城。五、证明三角恒等
8、式【例8】在ABC中， 求证： + +=0.【证明】因为 =4R2(cosB cosA),同理 =4R2(cosC cosB)=4R2(cosA cosC).所以左边=4R2(cosB cosA) + 4R2(cosC cosB) + 4R2(cosA cosC)=0 得证.【例9】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a, b, c, 证明：。【证明】由余弦定理知，两式相减得。所以，所以。由正弦定理，所以=。故等式成立。追踪训练二1ABC中若面积sinAcosBsinB=sinCsinAcosC 且周长为12，则其面积最大值为 36(3);2ABC中已知sin(A+B)+sin(A+B)=,cos(A+B)+cos(A+B)= 求角A和B【解】 听课随笔 3ABC中已知A=30cosB=2sinB求证：ABC是等腰三角形 设D是ABC外接圆直径BE与AC的交点,且AB=2 求：的值【解】 从而ABC是顶角为A的等腰三角形。在ABC中由正弦定理 在BCD中由正弦定理 听课随笔【师生互动】学生质疑教师释疑
