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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(卷)本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟第卷1至2页，第卷3至5页答卷前，考生务必将自己的、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号2本卷共8小题，每小题5分，共40分参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A，B相互独立，那么P(A
2、B)P(A)P(B)棱柱的体积公式VSh.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高球的体积公式V.其中R表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013，理1)已知集合AxR|x|2，BxR|x1，则AB()A(，2 B1,2C2,2 D2,1答案：D解析：解不等式|x|2，得2x2，所以Ax|2x2，所以ABx|2x1故选D.2(2013，理2)设变量x，y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为()A7 B4C1 D2答案：A解析：作约束条件所表示的可行区域，如图所示，zy2x可化为y2xz，z表示直线在y轴上的截距，截距越大z越大，作直线l0：y2x
3、，平移l0过点A(5,3)，此时z最小为7，故选A.3(2013，理3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序若输入x的值为1，则输出S的值为()A64 B73C512 D585答案：B解析：由程序框图，得x1时，S1；x2时，S9；x4时，S96473，结束循环输出S的值为73，故选B.4(2013，理4)已知下列三个命题：若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；直线xy10与圆x2y2相切，其中真命题的序号是()A BC D答案：C解析：设球半径为R，缩小后半径为r，则r，而V，V，所以该球体积缩小到原来的，故为真命题；两组数据的平均数相
4、等，它们的方差可能不相等，故为假命题；圆x2y2的圆心到直线xy10的距离d，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故为真命题故选C.5(2013，理5)已知双曲线(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 B C2 D3答案：C解析：设A点坐标为(x0，y0)，则由题意，得SAOB|x0|y0|.抛物线y22px的准线为，所以，代入双曲线的渐近线的方程，得|y0|.由得b，所以|y0|.所以SAOB，解得p2或p2(舍去)6(2013，理6)在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC(
5、)A BC D答案：C解析：在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC5，即得AC.由正弦定理，即，所以sinBAC.7(2013，理7)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案：B解析：函数f(x)2x|log0.5x|1的零点也就是方程2x|log0.5x|10的根，即2x|log0.5x|1，整理得|log0.5x|.令g(x)|log0.5x|，h(x)，作g(x)，h(x)的图象如图所示因为两个函数图象有两个交点，所以f(x)有两个零点8(2013，理8)已知函数f(x)x(1a|x|)设关于x的不等式f(xa)f(x)的解
6、集为A.若A，则实数a的取值围是()A BC D答案：A解析：f(x)x(1a|x|)若不等式f(xa)f(x)的解集为A，且，则在区间上，函数yf(xa)的图象应在函数yf(x)的图象的下边(1)当a0时，显然不符合条件(2)当a0时，画出函数yf(x)和yf(xa)的图象大致如图由图可知，当a0时，yf(xa)的图象在yf(x)图象的上边，故a0不符合条件(3)当a0时，画出函数yf(x)和yf(xa)的图象大致如图由图可知，若f(xa)f(x)的解集为A，且，只需即可，则有(a0)，整理，得a2a10，解得.a0，a.综上，可得a的取值围是.第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案
7、写在答题卡上2本卷共12小题，共110分二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9(2013，理9)已知a，bR，i是虚数单位若(ai)(1i)bi，则abi_.答案：12i解析：由(ai)(1i)a1(a1)ibi，得解方程组，得a1，b2，则abi12i.10(2013，理10)的二项展开式中的常数项为_答案：15解析：二项展开式的通项为，得r4，所以二项展开式的常数项为T5(1)415.11(2013，理11)已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|_.答案：解析：由圆的极坐标方程为4cos ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P的直角坐标为(2,)，
8、所以|CP|.12(2013，理12)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_答案：解析：如图所示，在平行四边形ABCD中，.所以()|2|2|2|11，解方程得|(舍去|0)，所以线段AB的长为.13(2013，理13)如图，ABC为圆的接三角形，BD为圆的弦，且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若ABAC，AE6，BD5，则线段CF的长为_答案：解析：AE为圆的切线，由切割线定理，得AE2EBED.又AE6，BD5，可解得EB4.EAB为弦切角，且ABAC，EABACBABC.EABC.又BDAC，四边形EBCA为平
9、行四边形BCAE6，ACEB4.由BDAC，得ACFDBF，.又CFBFBC6，CF.14(2013，理14)设ab2，b0，则当a_时，取得最小值答案：2解析：因为ab2，所以1，当a0时，；当a0时，当且仅当b2|a|时等号成立因为b0，所以原式取最小值时b2a.又ab2，所以a2时，原式取得最小值三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(2013，理15)(本小题满分13分)已知函数f(x)6sin xcos x2cos2x1，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)f(x)sin 2x3sin 2xco
10、s 2x2sin 2x2cos 2x.所以，f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数又f(0)2，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为2.16(2013，理16)(本小题满分13分)一个盒子里装有7卡片，其中有红色卡片4，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4卡片(假设取到任何一卡片的可能性相同)(1)求取出的4卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望解：(1)设“取出的4卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A).所以，取出的4卡片中
11、，含有编号为3的卡片的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以随机变量X的分布列是X1234P随机变量X的数学期望EX1234.17(2013，理17)(本小题满分13分)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长解：(方法一)(1)证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,
12、0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以B1C1CE.(2)(1，2，1)设平面B1CE的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0，1)为平面CEC1的一个法向量于是cosm，从而sinm，.所以二面角B1CEC1的正弦值为.(3)(0,1,0)，(1,1,1)设(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin |cos，|.于是，解得，所以AM.(方法二) (1)证明：因为侧棱CC1底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，所以CC1B1C1.经计算可得B1E，B1C1，EC1，从而B1E2，所以在B1EC1中，B1C1C1E，又CC1，C1E平面CC1E，CC1C1EC1，所以B1C1平面CC1E，又CE平面CC1E，故B1C1CE.(2)过B1作B1GCE于点G，连接C1G.由(1)，B1C1CE，故CE平面B1C1G，得CEC1G，所以B1GC1为二面角B1CEC1的平面角在CC1E中，由CEC1E，CC12，可得C1G
