高中数学选修2-1全称量词与存在量词 例题解析(通用)

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1、全称量词与存在量词 例题解析【例1】试判断以下命题的真假: (1) xR,使x31; (2) xQ,使x2=2; (3) xN,有x3x2; (4) xR,有x2+10【分析】要判定一个存在性命题是真,只要在限定的集合M中,至少能找到一个x=x0值,使p(x0)成立即可,否则,这一存在性命题就是假的要判定一个全称命题是真,必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立;但要判定全称性命题是假,却只要能举出集合M中一个x=x0,使得p(x0)为假即可【解】(1)由于xR,因而可取x=-1,满足x31,所以命题“xR,使x31”是真命题 (2)由于使x2=2成立的数只有,而它们都不是有理数,因此,没

2、有任何一个有理数的平方能等于2,所以命题“ xQ,使x2=2”是假命题 (3)由于x取自然数l时,x2x是不成立的,因此,全称命题“xN,有x3x2”是假命题 (4)由于任何一个实数x的平方都是非负的,即 x20,因而有x2+10所以,命题“xR,有x2+10”是真命题【例2】判断下列命题是全称命题还是存在性命题: (1)与同一平面所成角相等的两条直线平行; (2)有的三角形三个内角成等差数列; (3)和圆只有一个公共点的直线与圆相切【解析】(1)全称命题;(2)存在性命题;(3)全称命题【例3】写出下列命题的否定: (1)菱形的对角线互相垂直; (2)平行直线的斜率相等.【解析】 (1)“菱形的对角线互相垂直”的否定是“有的菱形的对角线彼此不垂直” (2)“平行直线的斜率相等”的否定是“存在平行的直线,它们的斜率不相等”【例4】命题q:有些三角形是直角三角形写出它的否定命题.由此可得出一般结论:【解析】这是一个存在性命题,即“三角形x,x是直角三角形”其否定命题是: q:三角形x,x都不是直角三角形也就是说:“没有一个三角形是直角三角形”,或者说“没有直角三角形”【点评】存在性命题q:xA,使p(x)成立它的否定命题是q: xA, p(x)(p(x)不成立)

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