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1、南通市教研室2012年数学全真模拟试卷四试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知数集中有3个元素，则实数不能取的值构成的集合为 2 在ABC中， AB1，AC，则 3 4 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的D，d的基因遗传是等可能的（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显示矮茎），则第二子代为高茎的概率为 5 蒸汽机飞轮的直径为1.2米，以320（转/分）的速度作逆时针旋转，则飞轮上一点1秒内所经过的路程为 米6 在平面直角坐标
2、系xOy中，已知向量，则 7 在一本书中，分组统计100个句子中的字数，得出下列结果：字数15个的5句，字数610个的27句，字数1115个的32句，字数1620个的21句，字数2125个的9句，字数2630个的6句利用组中值可估计该书中平均每个句子所包含的字数为 8 在ABC中，若1，则 9 下面的流程图中，能实现数据A，B互相交换的有 （把符合条件的图形序号全填上）AA+BBA-BAA-B输入A，B输出A，B结束开始结束CAABBC输入A，B输出A，B开始AA-BBA+BAB-A输入A，B输出A，B开始结束10已知为正实数，满足，则的最小值为 11已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是
3、曲线的切线，则实数的取值范围是 12已知某四面体的六条棱长分别为，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为 13在平面直角坐标系xOy中，直线与椭圆交于两点、，且，分别为椭圆的左、右顶点，则直线与的交点所在的曲线方程为 14在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数的图象交于A、B两点（A在B的左侧），分别过A、B作y轴的平行线分别与函数的图象交于C、D两点，若BC/x轴，则四边形ABCD的面积为 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知函数（其中的图象与轴 的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一
4、个最低点为（1）求的解析式； （2）当时，求的最大值及相应的的值 （第16题图）EABCDF 16（本题满分14分）如图，在四面体ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且（1）若EF平面ABD，求实数的值； （2）求证：平面BCD平面AED 17（本题满分15分）（第17题图）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之 用）它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度 为5m经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/、100元/， 问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？ EFCx
5、yABO（第18题）18（本题满分15分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右顶点为，直线过原点，且点在x轴上方，直线与分别交直线：于点、.（1）若点，求ABC的面积；（2）若点为动点，设直线与的斜率分别为、. 试探究：是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由； 求AEF的面积的最小值. 19（本题满分16分）已知等比数列的首项为，公比为，且， （1）求数列的通项公式；（2）若从数列中依次抽取的一个无穷等比数列，满足其所有项的和落在区间内，试 求出所有这样的等比数列（参考公式：首项为a1，公比为q（0|q|1）的无穷等比数列的各项的和.）20（本题满分16分）定义在正实数集上的函
6、数满足下列条件： 存在常数，使得； 对任意实数，当时，恒有（1）求证：对于任意正实数，；（2）证明：在上是单调减函数； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围 试题（附加题）21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若 多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤AQNBPM（第21A题）A（几何证明选讲）如图，已知两圆交于A、B两点，过点A、B的直线分别与两圆交于P、Q和M、N求证：PM/QNB（矩阵与变换）已知矩阵的逆矩阵，求矩阵C（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，过椭圆在第一象限处的一点分别作轴、轴的两条垂线，垂
7、足分别为，求矩形周长最大值时点的坐标D（不等式选讲）已知关于的不等式的解集为，求实数的取值范围【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤22如图，正四棱柱中，点在棱上，且（第22题图）（1）求的长； （2）求钝二面角的大小 23某品牌设计了编号依次为的n种不同款式的时装，由甲、乙两位 模特分别独立地从中随机选择种款式用来拍摄广告（1）若，且甲在1到为给定的正整数，且号中选择，乙在到号中选择记Pst为款式（编号）和同时被选中的概率，求所有的Pst的和；（2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率南通市教研室2012年数学
8、全真模拟试卷四参考答案1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. 25； 7. 14； 8. 1； 9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 答案解析1根据集合元素的互异性，且，所以实数不能取的值构成的集合为；2. 由正弦定理知，得，又，所以，故；3. ；4. 第二子代的一对基因的所有等可能情形为DD，Dd，dD，dd，其中高茎的有DD，Dd，dD共3 种，则所求概率为；5. 飞轮上一点1秒内所经过的路程为；6. 由，得，所以；7. 利用组中值得平均每个句子所包含的字数为；8. 由及得，；9. 易得符合题意；对于：因为，所以，进而 ，符合题意；同理可得符合题
9、意；10. 因为为正实数，所以，解得（当且仅当时等号 成立）11. 易得解无实数，即解无实数，所以；12. 不可能为两异面直线的长，这是可以反证的（假设为异面直线的长，则会出现六条棱共面的情形，这与假设矛盾）故根据余弦定理得较长棱所在直线所成角的余弦值为；13. 直线的方程为，的方程为，两式左右分别相乘得，因为点、在椭圆上，所以， ，即，又，所以，代入 得；14. 设， 则， 因为BC/x轴，所以， 即， 又A、B、O三点共线，故， 由得， 故四边形ABCD的面积为15命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质，考查运算求解的能力解：（1）由题意得，周期，得，（4分） 此时， 将代入上式得，
10、即， 解得， 所以；（8分） （2）因为， 所以，（10分） 所以，当且仅当，即时， 即有的最大值为2（14分） 16命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力解：（1）因为EF平面ABD，（第16题图）EABCDF易得平面ABC， 平面ABC平面ABD， 所以，（5分） 又点E是BC的中点，点F在线段AC上， 所以点F为AC的中点， 由得；（7分） （2）因为，点E是BC的中点， 所以，（9分） 又，平面AED， 所以平面AED，（12分） 而平面BCD， 所以平面BCD平面AED（14分）17命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运
11、算求解能力解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为，且，（2分）则该仓库的侧面总造价，（8分） 由得，即，（13分） 经检验得，当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m（15分）（法二）设圆锥的高为m，且，（2分）则该仓库的侧面总造价 ，（8分） 由得，（13分） 经检验得，当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m（15分）18命题立意：本题主要考查直线的方程、椭圆的方程及其简单性质等基础知识，考查灵活运用数 形结合、化归EFCxyABO（第18题图）与转化思想进行运算求解、推理论证的能力解：（1）由题意得 解得，（3分） 则ABC的面积 ；（5分） （2） 为定值，下证之： 证明：设，则，且，（
12、7分） 而 由（1）得， 所以；（10分） 易得直线的方程为， 直线的方程为， 令得， 则AEF的面积，（13分） 因为点在x轴上方，所以， 由得（当且仅当时等号成立） 所以，AEF的面积的最小值为.（15分）19命题立意：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量、 有限与无限的数学思想进行运算求解、探索分析的综合能力. 解：（1）因为， 所以，（2分） ， 解得， 又，所以，（4分） 此时，；（6分） （2）设无穷等比子列的首项为，公比为，且， 则其所有项和，（9分） 即， 故， 所以，（12分） 此时， 所以，（14分） 所有满足题意的等比子列是以为首项，（）为公比的等比数列（16分）20命题立意：本题主要考查指数函数、对数函数以及抽象函数的性质等，考查灵活运用函数性质 进行探索求解、推理论证的综合能力解：（1）证明：令，则，所以，即证；（5分）
