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1、高中数学解析圆锥曲线中的“规划”问题童广鹏由于规划自身具有直观、简捷的优点，因此在圆锥曲线中对规划思想的考查越来越受到命题者的青睐，兹举几例说明。一. 圆中的规划问题 例1. 动直线所表示的区域边界的曲线形状为A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线解：当在变化时，原点到动直线的距离，故动直线表示的就是圆的切线，而这些切线扫过的区域为此圆的外部区域，即所求区域的边界形状为圆，选A。图1 例2. 已知平面内一点，求满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积。解：点P在以为圆心，4为半径的圆上运动，而当在变化时，圆心C又在以原点为圆心，2为半径的圆O：上运动，当点C在圆O上任意运动时，圆C也随之运
2、动，在运动过程中，圆C扫过的平面区域就是点P在平面内组成的图形，即半径分别为6、2的圆环，其面积为。图2 例3. 在一个居民小区内设计一个边长为5米的菱形喷水池，规划者要求，菱形的一条对角线不大于6米，另一条不小于6米，问菱形的两条对角线之和的最大值为多少米？解：设菱形对角线的长度分别为x、y，则即如图，作出直线，直线y=6与圆交于一点，则满足条件的点（x，y）在弧上运动。令，则b是直线在y轴上的截距，由规划知识，当直线过点时，故对角线和的最大值为14。图3二. 椭圆中的规划问题 例4. 椭圆系（）都经过点（2，1），画出所有椭圆上满足的点的集合表示的图形。解：椭圆系都经过点（2，1）即由椭圆
3、自身的几何性质：于是，即椭圆系的每个椭圆的短半轴长必在之间，而（2，1）在圆上，则经过点（2，1）的椭圆系所扫过的区域是直线的两侧与圆的交集部分。如图阴影部分。图4 例5. 抛物线在坐标平面上不经过的区域形状为（ ）A. 椭圆B. 圆C. 抛物线D. 双曲线解：由于动抛物线经过的区域受变量m的影响因此可将m视为变量，x、y视为参量，即关于m的方程有实数解，于是整理即故凡抛物线上的点均在椭圆上及其外部区域中，反之，凡椭圆上及其外部区域中的点均在动抛物线上，从而抛物线在坐标平面上不经过的区域形状为椭圆。图5三. 抛物线中的规划问题 例6. 平移抛物线，使其顶点的横坐标非负，且顶点到点的距离比到y轴的距离多，这样得到的所有抛物线所经过的区域是（ ）A. xOy平面B. C. D. 解：由已知，顶点（a，b）在以直线为准线，以点为焦点的抛物线上，即则平移后的抛物线方程应为整理得由于，所以即故选B 例7. 已知关于t的方程有两个绝对值都不大于1的实数根，画出点P（x，y）所在的对应区域。解：设，由已知方程有两个绝对值都不大于1的实数根，作出直线，和抛物线，再补上，最后可确定如图的曲边三角形ABC（包括边界）表示的封闭阴影区域。图6
