【高考调研】2014届高考数学总复习 第九章 解析几何 课时作业65(含解析)理 新人教A版.doc

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1、课时作业(六十五)1已知F1、F2是双曲线y21的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过F2且倾斜角为,则|PF1|QF1|PQ|的值为()A8B2C4D随的大小而变化答案C解析由双曲线定义知:|PF1|QF1|PQ|PF1|QF1|(|PF2|QF2|)(|PF1|PF2|)(|QF1|QF2|)4a4.2与双曲线1有共同的渐近线且经过点A(3,3)的双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离是()A.B.C1D4答案B解析设此双曲线方程为1,代入点A(3,3)得m.方程为1.焦点到渐近线的距离为b,db.3双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8,则半焦距的取值范围是()A44,4B44,2

2、C(44,2)D44,2)答案D解析设双曲线的方程为1(a0,b0),其中a2b2c2.2a2b2c8,abc4.(ab)22(a2b2),(4c)22c2c28c160c44或c44(负根舍去)又a2b2c2,abc.而abc4,c2,即44c0,b0)的两个焦点,若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率()A.B2C.D3答案B解析设F1(c,0),F2(c,0)由PF1F2为正三角形得2c.3c24b24(c2a2)c24a2,e24,e2.5ABC的顶点为A(5,0)、B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x3上,则顶点C的轨迹方程是()A.1B.1C.1(x

3、3)D.1(x4)答案C解析设ABC的内切圆与x轴相切于D点,则D(3,0)由于AC、BC都为圆的切线故有|CA|CB|AD|BD|826.再由双曲线第一定义知所求轨迹为1(x3)故选C.6已知点F1、F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,以线段F1F2为一边的等边三角形PF1F2与双曲线的两交点M、N恰为等边三角形PF1F2两边的中点,则该双曲线的离心率e()A.1B.2C.D.1答案A解析设点M、N分别是PF1F2的边PF1、PF2的中点,连接MF2.因为|F1F2|2c,PF1F2为等边三角形,所以|MF1|c,所以|MF2|2ac.又易知|MF1|2|MF2|2|F1F2|2,

4、所以c2(2ac)24c2,化简得e22e20,得e1,因为e1,故取e1.故选A.7已知双曲线1(a0,b0),点F是其左焦点,点E是其右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若0,则该双曲线的离心率为()A2B3C4D5答案A解析根据题意画出如图所示的简图由0,可知AEB为直角由双曲线的几何性质可知AEF45.又AF,EFac,三角形AEF为等腰直角三角形,所以ac,整理得c2ac2a20,即e2e20,解得e2或e1(舍去)8.8. (2012浙江)如图,F1、F2分别是双曲线C:1(a,b0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线

5、段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|F1F2|,则C的离心率是()A.B.C.D.答案B解析不妨设c1,则直线PQ:ybxb,两渐近线为yx.因此有交点P(,),Q(,),设PQ的中点为N,则点N的坐标为(,)因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M,|MF2|F1F2|,所以点M的坐标为(3,0)因此有kMN,所以34a2b21a2.所以a2,所以e.9已知圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_答案解析由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点,所以圆C的圆心的横坐标为4,故圆心坐标为,易求它到中心的距离为.10双曲线C:x2

6、y21的渐近线方程为_;若双曲线C的右顶点为A,过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P,Q两点,且2,则直线l的斜率为_答案xy03解析双曲线C:x2y21的渐近线方程为x2y20,即yx;双曲线C的右顶点A(1,0),设l:xmy1,联立方程,得消去x得(m21)y22my10(*),方程(*)的根为P、Q两点的纵坐标,设P(xP,yP),2,yP2yQ.又解得m,直线l的斜率为,即为3或3.11求两条渐近线为x2y0和x2y0且截直线xy30所得的弦长为的双曲线的方程解析渐近线方程为yx,可设双曲线方程为1,则可得3x224x364m0,x1x28,x1x2.由弦长公式|AB|,得|AB

7、|.又|AB|,m1.双曲线方程为y21.12(2011江西)P(x0,y0)(x0a)是双曲线E:1(a0,b0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足,求的值解析(1)点P(x0,y0)(x0a)在双曲线1上,有1.由题意又有,可得a25b2,c2a2b26b2,则e.(2)联立得4x210cx35b20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则设(x3,y3),即因为C为双曲线上一点,所以x5y5b2,有(x1x2)25(y1y2)25

8、b2.化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.因为A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以x5y5b2,x5y5b2.由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2,由式得240,解出0或4.13(2013上海徐汇高三模拟)已知点F1,F2为双曲线C:x21(b0)的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线于点M,且MF1F230,圆O的方程为x2y2b2;(1)求双曲线C的方程;(2)过圆O上任意一点Q(x0,y0)作切线l交双曲线C于A,B两个不同点,AB中点为N,求证:|AB|2|ON|;(3

9、)过双曲线C上一点P作两条渐近线的垂线,垂足分别是P1和P2,求的值解析(1)设F2,M的坐标分别为(,0),(,y0)(y00),因为点M在双曲线C上,所以1b21,即y0b2.所以|MF2|b2.在RtMF2F1中,MF1F230,|MF2|b2,所以|MF1|2b2.由双曲线的定义可知|MF1|MF2|b22,故双曲线C的方程为x21.(2)证明当切线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),切线l的方程为ykxn(k),代入双曲线C中,化简得(2k2)x22knx(n22)0.所以|AB|x1x2|.因为直线l与圆O相切,所以,代入上式,得|AB|.设点N的坐标为(xN,y

10、N),则xN,ynkxNn.所以ON,即|AB|2|ON|成立当切线l的斜率不存在时,A(,),B(,)或A(,),B(,),此时|AB|2,|ON|,即|AB|2|ON|成立(3)由条件可知:两条渐近线分别为l1:xy0;l2:xy0.设双曲线C上的点P(x0,y0),则点P到两条渐近线的距离分别为|,|.所以|.因为P(x0,y0)在双曲线C:x21上,所以2xy2.故|.设和的夹角为,则cos.所以|cos.1设双曲线C:y21(a0)与直线l:xy1相交于两点A、B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;(2)设直线l与y轴的交点为P,且,求a的值解析(1)联立消y得x2a2(1x)2

11、a20,(1a2)x22a2x2a20.得与双曲线交于两点A、B,0a20,则a.2直线l:ykx1与双曲线C:2x2y21的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围;(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由解析(1)将直线l的方程ykx1代入双曲线C的方程2x2y21后,整理得(k22)x22kx20.依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故解得k的取值范围为2k.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由式得.假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0),则由FAFB得(x1c)(x2c)y1y20.即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0.整理得(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210.把式及c代入式化简得5k22k60.解得k或k(2,)(舍去)可知k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点8

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