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1、转化与化归思想在立体几何中的体现摘要:转化与化归的思想,是数学学科与其他学科相比,一个特有的数学思想方法,化归思想的核心是把生问题转化为熟问题,我们平时解题的过程实质上就是一个缩小已知与求解差异的过程,一个生题变熟题的过程。因此,解每一道题,无论是难题还是易题,都离不开化归,所以说,转化与化归是数学思想方法的灵魂。本文就其基本理论和其在立体几何中的体现做一简单介绍。关键词:转化;化归;思想;立体几何;体现解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,这时就需要通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题),通过新
2、问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。转化与化归思想的实质是揭示联系,实现转化。除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。转化与化归的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现。转化有等价转化和非等价转
3、化。等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证。转化思想方法的特点是实现问题的规范化,模式化,以便应用已知的理论、方法和技巧达到问题的解决,其形式如下图:转化已知理论、方法、技巧问 题规范化问题解 答原问题的解问 题规范化问题解 答原问题的解已知理论、方法、技巧问 题规范化问题解 答原问题的解 还原 转化与化归应遵循的基本原则: (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。(2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决
4、复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。(3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。(4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。(5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解。 转化、化归的思想贯穿立体几何的始终,是处理立体几何问题的基本思想方法,具体体现在如下几个方面:(1)把立体几何问题向平面几何转化,即立体问题平面化,它是解决立体几何问题始终如一的原则。如异面直线所成的角、线面所成的角、二面角这三种空
5、间角都是用平面角定义的,在解决有关空间角的问题时,一般是将它们转化为平面角来处理,最终化归为解三角形。(2)在讨论平行与垂直关系时,应注意用“线线平行线面平行面面平行”与“线线垂直线面垂直面面垂直”进行转化。(3)在计算立体几何中的距离问题时,根据它们的定义都可以化归为两点间的距离,。例如,求异面直线的距离;或化归为求公垂线段的长;或化归为线面距离或面面距离,而这三种方法最终又化归为两点间的距离。 另外,等体积法、图形语言与符号语言、文字语言的互译等也都体现了转化思想的应用。下面枚举数例,有不妥之处敬请指正。例1已知、是两条异面直线,求证过且平行的平面必平行于过且平行的平面。A图11【解答】如
6、图11所示,任取点A,由推论1设点A与确定平面,且, ,则又又,、,故原命题正确。【点评】在面面关系中,要善于用和线线、线面平行的概念判定和性质进行类比、探索、总结,特别要注意互相转化,达到由线线、线面化归为面面问题,使之统一深化。例2.如图12,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,沿对角线BD把BCD折起使C点移到C1点,且C1在平面ABD内的射影O恰好落在AB上。(1)求证:AC1BC1;(2)求AB与平面BC1D所成的正弦值;图12OGHC1DCBA(3)求二面角C1BDA的正切值。【解答】(1)由题意,C1O面ABD。又C1O面ABC1,面ABC1面ABD。又ADAB,面ABC1面AB
7、D=AB,AD面ABC1,ADBC1,又BC1C1D,ADC1D=D,BC1面AC1D,BC1AC1。(还可由三垂线定理证ADBC1)(2)BC1面AC1D,BC1面BC1D, 面AC1D面BC1D, 作AHC1D,于H,则AH面BC1D。连结BH,则BH为AB在面BC1D上的射影, ABH即为AB与面BC1D所成的角。 又在RtAC1D中,C1D=,AD=3, AC1=,AH=, sinABH=。即AB与面BC1D所成角的正弦值为。(3)过O作OGBD于G,连结C1G,则C1GBD。 则C1GO为二面角C1BDA的平面角。在RtAC1B中,C1O=在RtBC1D中,C1G=。OG=,tanC
8、1GO=.即二面角C1BDA的正切值为。【点评】(1)本题证线线垂直过程中用到了线线垂直、线面垂直、面面垂直相互转化的思想线线垂直 线面垂直 面面垂直(2)通过作线面角与二面角的平面角,将空间角的问题转化为平面角处理。例3.如图13,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都为,D是AB的中点,连结A1D,DC,A1C.HECDC1B1BAA1图13(1)求证:BC1平面A1DC;(2)求BC1到平面A1DC的距离。 【解答】(1)连结AC1,交A1C于点E,则平面ABC1平面A1DC=DE.因为E是AC1的中点,D是AB的中点,所以DEBC1.而DE平面A1DC,BC1平面A1DC,BC1平面A1
9、DC;(2)由(1)知BC1平面A1DC,所以BC1上任一点到平面A1DC的距离都是BC1到平面的距离。所以求点B到平面A1DC的距离即可,又因为AB与平面A1DC相交于AB的中点D。所以点A、B到平面A1DC的距离相等,因为CDAB,CDAA1,所以CD平面A1ABB1。所以AA1DC是直二面角,过点A作平面A1DC的垂线,垂足H在A1D上。在RtA1AD上,A1AAD=A1DAH,所以AH=。所以BC1到平面A1DC的距离是。【点评】线到面的距离是转化为点到平面的距离求解的,线段与平面交于中点时两端点到平面的距离相等,又可化成另一端点到平面的距离。参考文献: 梁大鹏,王俊杰.思想方法 高中数学.北京:人民日报出版社,2020年3月第二版.582-610. 皱清林等高中数学思想方法与能力培养四川:四川教育出版社,1995年10月第一版324-385.