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自然数建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。 基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语calculate（计算）一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古代易系辞中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这都是匹配计算法的反映。集合的基数具有元素个数的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法（见算术）为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理，这里集合、含有、自然数、后粥等是不加定义的。是自然数。不是任何其它自然数的后继。每个自然数都有一个后继（a的后记为）a/=b/蕴含a=b设S是自然数的一个集合。如果S含有1，且S含有a/蕴含S含有，则S含有任何自然数。公理就是熟知的数学归纳法公理。一切自然数集记为1,2,3,，n，简记为N。从上述公理出发，可以定义加法和乘法，它们满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。
