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1、第五章流体力学 液体和气体统称为流体 流体的基本特征是具有流动性 即它的各个部分之间很容易发生相对运动 没有固定的形状 流体力学研究流体的宏观平衡和运动的规律以及流体与相邻固体之间相互作用规律 流动性可压缩性粘滞性 流体的宏观物性 5 1流体运动的描述 流体静力学 研究静止流体规律的学科 如阿基米德原理 帕斯卡原理等 流体动力学 研究流体运动的学科 是水力学 空气动力学 生物流体力学等学科的理论基础 流体力学 一 流体运动的描述方法 牛顿定律适用 考察每个质元的位置随时间的变化 拉格朗日法 不同的 x0 y0 z0 代表了不同质元 欧拉法 考察经过空间某位置 x y z 处质元的运动 如 这种
2、方法把流体看成一个场 考虑场中各点的各个物理量 在流场中假想一组曲线 使曲线上每一点的切线方向与处在该点流体粒子的速度方向一致 此曲线称流线 二 流场 流线和流管 在流体流动过程中的任一瞬时 流体所占据的空间每一点都具有一定的流速 流速随空间的分布 流体速度场 流场 流线不会相交 引入流线只是为了形象的描述流场 是假想曲线 注意 在流动的流体中划出一个小截面 则通过其周边各点的流线所围成的管状体称 流管 流体不会穿过流线流入或流出流管 流线越密地方流速越大 越稀地方流速越小 三 定常流动和不定常流动 流场中任一点的流速 压强和密度等都不随时间变化流线的形状不变 和质元的运动轨迹重合流体的各流层
3、不相混合 只作相对滑动 经过空间某处的质元速度随时间变化 不定常流动 定常流动 流线的形状随时间变化 在定常流动的流场中任取一段细流管 截面S1和S2处 流速分别为v1和v2 流体密度分别为 1和 2 流管的任一横截面上各点的物理量看做均匀 通过截面S2流出的流体质量 研究对象 在 t时间时间内 通过截面S1进入的流体质量 5 2定常流动的连续性方程 定常流动时的连续性方程又称质量 流量守恒定律 Sv 常量 其中 流体密度 s 截面面积 v 流速 Sv单位时间内通过任一截面S的流体质量 流体的连续性方程是质量守恒定律在定常流动流体中的一个推论 它与流体是否存在粘性无关 Sv单位时间内通过任一截
4、面S的流体体积 对不可压缩流体 为常量 则 体积 流量守恒定律 Sv 常量 例 水从龙头流下过程中 由于其速率增加 水流必定 收缩下去 若A0处水流横截面为1 2cm2 A处为0 35cm2 A0 A之间的竖直距离为h 45mm 求龙头流出的体积流量 解 两截面体积流量相等 落体运动的速度关系 流量为 经过时间 t后 此段流体的位置由xy移到了x y 5 3理想流体的伯努利方程 定常流动 在y处 压强P2 速度v2 高度h2 截面积S2 取一细流管 截取一段流体xy 考察 t时间内这段流体机械能变化 设流体在x处 压强P1 速度v1 高度h1 截面积S1 一 理想流体的伯努利方程 外力 F1作
5、正功 F2作负功 x截面的位移是v1 t y截面的位移是v2 t 总功 机械能增量 X x h1 P1S1 h1 P1S1 h2 h2 P2S2 P2S2 x y y v1 v1 v2 v2 F2 F1 V为 t时间内流入 出L管流体的体积 m V是流体的密度 伯努利方程 由于对x y点的选择没有限制 故上式对同一流管的任一截面有 单位体积流体的静压能 单位体积流体的静压能 说明 1 此方程实质上是能量守恒定律在理想流体做定常流动中的具体表现 2 惯性系中成立3 其中p v h对应于同一根流线 不同流线对应的常数不同 在一般管道流动中 忽略各物理量在其横截面上的变化也可近似成立 式中各量为管道
6、截面上所取的平均值 如果流体在水平管子中流动 h1 h2 则流体的势能在流动过程中不变 P 1 2 v2 常量 流速大的地方压强较小 流速小的地方压强较大 即流线相对靠近的地方 压强较小 反之亦然 血压测量最早由英国牧师黑尔斯 R S Hales 1677 1761 在1733年完成的 1896年意大利医生里瓦罗基 Riva Rocci 1863 1937 发明了现在仍在使用的腕环血压计 1 小孔流速一直立容器 截面积为S 在容器下部开一面积为s的小孔 小孔与液面的高度差为h 求小孔处的流速 解 对A B流管 由伯努利方程得 PA PB 由SvA svB 且S s 故vA vB 可将vA近似为
7、零 小孔流速只与h有关 二 伯努利方程的应用 如同一质点自由下落h高度 射出流体将做平抛运动 例1一直立圆柱形容器 高0 2m 直径0 1m 顶部开启 底部有一面积为10 4m2的小孔 水以每秒1 4 10 4m3的快慢由水管自上面放入容器中 问 容器内水面可上升的高度 若达到该高度时不再放水 求容器内的水流尽需多少时间 解 1 设容器内水面可上升的高度为H 此时放入容器的水流量和从小孔流出的水流量相等 Q S2v2 小孔处水流速v2为 2 设容器内水流尽需要的时间为T t时刻水的高度为h 小孔处流速为 液面下降dh高度从小孔流出的水体积为dV S1 dh 需要的时间dt为dV Q 小孔流速
8、例2如图 在一个桶的侧面不同的高度的两处开了两个小孔A B A孔距水面的高度为h1 距地面的高度为h2 问 B孔在距地面什么高度处才可以保证两个孔喷出的水达到同样远的距离 若容器装满水 在什么高度开孔水的射程最远 解 由R相等可解得 h3 h1 2 虹吸作用如图 一大容器中插入一弯管 若弯管最初充满液体 则随后液体从弯管下端e源源流出 试求a b c d e各处的速率及压强大小 d 解 流线越密地方流速越大 越稀地方流速越小 理想流体的条件 不可压缩无粘性定常流动 稳流 流线 流体不会穿过流线流入或流出流管 回顾 流管 流线不相交 特点 怎理解 伯努利方程 单位体积流体的动能 单位体积流体的势
9、能 实质为能量守恒 用于理想流体做定常流动时 同一流管 在一般管道流动中 忽略各物理量在其横截面上的变化也可近似成立 式中各量为管道截面上所取的平均值 单位体积流体的静压能 h1 h2时 流速大的地方压强小 流速小的地方压强大 Sv 常量 质量流量守恒定律 RV Sv 常量 体积流量守恒定律 定常流动的连续性方程 解 截面积相等 所以 高度相等 所以 由伯努利方程得 由伯努利方程 考察2 4 5点 3 空吸作用 解 由图 c d两截面处的中心线等高 由连续性方程 如图 在容器A的下部开口 与一水平管道相接 管道中间c处是收缩段 水平管道d端与外界相连 试求c处压强 B容器中的液体在何条件下能流
10、进水平管发生空吸作用 由伯努利方程得 故当满足 容器B中的液体就会被吸到水平管道中 空吸作用 联立得空吸作用的条件 空吸作用应用 水流抽气机 射流真空泵 喷雾器等 接被抽容器 5 流速计皮托管 4 汾丘里流量计 例水在截面不同的水平管中作稳定流动 出口处的截面积为管的最细处的3倍 若出口处的流速为2m s 问最细处的压强为多少 若在此最细处开一小孔 水会不会流出来 解 由连续性方程S1v1 S2v2 得v2 6 m s 由伯努利方程在水平管中的应用得 P2 P0 水不会流出来 代入数据得 P2 85 kPa 飞机升力 流速小的地方压强较大 流速大的地方压强较小 生活中的流体力学 实际流体在流动
11、时 由于相邻部分发生相对滑动 会产生沿切向的阻碍相对运动的粘滞力 这种流体称为粘性流体或非理想流体 5 4实际流体的流动规律 粘滞流体 内摩擦力 相邻两层流体作相对滑动时的切向相互作用力 又称粘滞力 宏观 作用类似于两接触物体间的摩擦力 此时无静摩擦力 快层对慢层有拉力 慢层对快层有阻力 一 粘滞流体的能量方程 微观 源于两层流分子间吸引力 及热运动 流体中的粘滞力 平板间存在流速场V y 并存在速度梯度dv dy 1 流体的粘滞系数 反映流体的粘性 流体粘性的大小是对流体流动受阻程度的一种量度 3 粘滞系数非常依赖于温度 对气体 一般随温度升高而增大 对液体 一般随温度升高而减小 2 单位
12、帕斯卡 秒 或 牛 秒 米 4 0的体系 超流动性 液氦4He温度低于2 172K时 粘度为零 会产生无阻尼流动 粘滞定律 流体粘性实验示意图 1686年 牛顿 5 符合粘滞定律的流体 称牛顿流体 推导非理想流体的动力学方程 由功能原理 有粘滞力作功时 对理想流体 W12依赖于初态和末态 理想流体 必须维持一定的压强差 才能使粘性流体作匀速运动 耗散能体密度 主动脉的横截面积最小 为3cm2 毛细血管的总截面积最大 为900cm2 二 湍流和雷诺数 层流 流体分层流动 相邻两层流体之间只作相对滑动 流层间没有横向混杂 湍流 当流体流动的速度超过一定数值时 流体将不再保持分层流动 外层的流体粒子
13、不断卷入内层 形成旋涡 整个流动显得杂乱而不稳定 雷诺数 无量纲数 是流体的密度和粘度 v l是物体的特征速度和特征长度 层流向湍流过渡的判据 2 Re 1000时 流体作层流 Re 1500时 流体作湍流 1000 Re 1500时 流体可以作层流 湍流 或相互转化 1 管道中的流动 特征速度 流体在管道上的平均速度 特征长度 管道半径 飞机 特征速度 飞机速度 特征长度 机翼长度 体系不同 Re 不同 例1水和甘油在内径相同的圆管道中以相同的流速流动 试根据以下数据判断他们的流场形态 设圆管内径r 0 1m 流速为v 0 5m s 圆管道流场的临界雷诺数Re 2000 甘油密度为1300k
14、g m3 粘度为0 5Pa s 水的粘度约为0 001Pa s 对于水 湍流 对于甘油 层流 粘性越小 越容易产生湍流 例2设主动脉的内半径为0 01m 血液的流速 粘滞系数 密度分别为v 0 25m s 3 0 10 3Pa s 1 05 103kg m3 求雷诺数并判断血液以何种形态流动 解 雷诺数为 这一数值小于1000 所以血液在主动脉中为层流 雷诺相似准则 雷诺数相等的流场具有相似的流动状态和性质 相同的动力学性质 相同的流动形态和流线分布 对于圆管道中的流场 管径缩小一倍 流速增加一倍 雷诺数不变流动性质不变 风洞的应用 歼 速度小 粘滞力起主要作用 层流 速度大 压强差起主要作用
15、 湍流 物体在流体中所受的阻力 粘滞阻力 物体表面的流体与物体一起运动 因此物体表面流体与邻近流体有相对运动 因此产生粘滞阻力 压差阻力 不同形状的物体压差阻力相差很大 降低压差阻力 需流线型 飞机 舰艇 磁悬浮列车等的造型 三 泊肃叶定律 法国医生泊肃叶通过大量实验 总结出泊肃叶公式 流量 为流体的粘滞系数 圆柱体两端的压强差 用于粘性流体在水平圆管中的定常流动时 泊肃叶公式又可写成 其中 此时公式 称流阻 流阻串联 流阻并联 半径的微小变化就会对流阻造成很大影响 血管可以收缩和舒张 其管径的变化对血液流量的影响是很显著的 流量Q与管两端的压强差 P成正比 与Z成反比 本章小结 理想流体定常流动 连续性方程 伯努利方程 粘性流体的运动 粘滞定律 伯努利方程
