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1、1 傅里叶变换傅里叶变换法拉普拉斯变换法 掌握用积分变换法求解各种 半 无界问题 第九章积分变换法 Integraltransformation 2 核 把函数f x 经过某种可逆的积分手续变成另一个函数 积分变换 像原 用途 将微分 积分运算变为乘法运算 减少偏微分方程的自变量个数 将常微分方程变为像函数的代数方程 像 3 1 傅里叶积分定理 9 1傅里叶变换 设连续函数f x 在 l l 上有Fourier级数展开 成立范围 l x l 4 若f x 在 上绝对可积 Fourier积分定理 则取极限l 固定x 黎曼求和变为积分 三角形式 指数形式 间断点的函数值 5 第j个坐标位于 n维空
2、间的点 高维Fourier积分定理 直角坐标为 体积元 的点构成的多面体体积 n维Fourier积分 6 2 傅里叶变换的定义 定义1 函数f x 的傅里叶变换是函数 Fourier积分定理 记作 定义2 函数的傅里叶逆变换是函数 记作 7 例1 Heaviside阶梯函数定义为 解 逆变换 取实部 求f x e xH x 的Fourier变换 0 8 Fourier变换的其它定义 正变换 逆变换 高维Fourier变换 正变换 逆变换 9 设f x 的Fourier变换为 3 Fourier变换的基本性质 线性性质 延迟性质 位移性质 相似性质 由定义出发可证明 10 微分性质 积分性质 证明 6 将微分性质应用于 证明 5 由傅立叶积分定理 11 定义两个函数f1 x f2 x 的卷积为函数 卷积定理 卷积的性质 证明 12 9 2傅里叶变换法 1 波动问题 关于变量x作傅里叶变换 0 13 求解关于t的微分方程 为参数 代入初值 通解 14 积分性质 位移性质 作逆变换 15 2 输运问题 关于变量x作傅里叶变换 求解关于t的微分方程 卷积定理 卷积 16 求函数G x t 其傅立叶变换为 高斯积分 卷积 17 3 稳定场问题 关于变量x作傅里叶变换 方程变为 求解关于y的微分方程 为参数 通解 边界条件 18 作Fourier逆变换 卷积 卷积定理
