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1、 云南省昭通市实验中学高中数学云南省昭通市实验中学高中数学 第二章第二章 点 直线 平面之点 直线 平面之 间的位置关系间的位置关系 同步练习同步练习 新人教新人教 A A 必修必修 2 2 一 选择题一 选择题 1 垂直于同一条直线的两条直线一定 A 平行B 相交C 异面D 以上都有可能 2 正四棱柱 1111 DCBAABCD 中 ABAA2 1 则异面直线 11 ADBA与所成角的余弦值 为 A 5 1 B 5 2 C 5 3 D 5 4 3 经过平面外两点与这个平面平行的平面 A 可能没有B 至少有一个C 只有一个D 有无数个 4 点E F G H分别为空间四边形ABCD中AB BC
2、CD AD的中点 若AC BD 且 AC与BD所成角的大小为 90 则四边形EFGH是 A 菱形B 梯形C 正方形D 空间四边形 5 已知 m n 为异面直线 m 平面 n 平面 l 则 A l与m n都相交B l与m n中至少一条相交 C l与m n都不相交D l只与m n中一条相交 6 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AD 23 CC1 2 则二面角C1 BD C的大小为 A 30 B 45 C 60 D 90 7 如果平面 外有两点A B 它们到平面 的距离都是a 则直线AB和平面 的位置关系一定是 A 平行B 相交C 平行或相交D AB 8 设m n是两条不同的直线 是两个
3、不同的平面 下列命题中正确的是 A m n m nB m n m n C m n m n D m n m n 9 平面 平面 AB CD是夹在 和 之间的两条线段 E F分别为 AB CD的中点 则EF与 的关系是 A 平行B 相交C 垂直D 不能确定 10 平面 平面 A B AB与两平面 所成 的角分别为 4 和 6 过A B分别作两平面交线的垂线 垂足为 A B 则AB A B 等于 A 2 1B 3 1 C 3 2D 4 3 二 填空题二 填空题 11 下图是无盖正方体纸盒的展开图 在原正方体中直线AB CD所成角的大小为 D C A B 第 11 题 12 正三棱柱ABC A1B1C
4、1的各棱长均为 2 E F分别是AB A1C1的中点 则EF的 长是 13 如图 AC是平面 的斜线 且AO a AO与 成 60 角 OC AA 于A A OC 45 则点A到直线OC的距离是 第 10 题 14 已知正四棱锥的底面边长为 2 侧棱长为5 则侧面与底面所成二面角的大小为 15 已知a b为直线 为平面 a b 对于a b的位置关系有下面五 个结论 平行 垂直不相交 垂直相交 相交 不垂直且不相交 其中可能成立的有 个 三 解答题三 解答题 16 正方体AC1的棱长为a 1 求证 BD 平面ACC1A1 2 设P为D1D中点 求点P到平面ACC1A1的距离 17 如图 ABCD
5、是正方形 O是该正方形的中心 P是平面ABCD外一点 PO 底面 ABCD E是PC的中点 求证 1 PA 平面BDE 2 BD 平面PAC 18 如图 在四棱锥P ABCD中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 90 1 求证 PC BC 2 求点A到平面PBC的距离 19 如图 棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 第 18 题 1 求证 AC 平面B1D1DB 2 求证 BD1 平面ACB1 3 求三棱锥B ACB1体积 20 已知 BCD中 BCD 90 BC CD 1 AB 平面BCD ADB 60 E F分 别是AC AD上的动点
6、且 AC AE AD AF 0 1 1 求证 不论 为何值 总有平面BEF 平面ABC 2 当 为何值时 平面BEF 平面ACD D1 C1 B1 A1 C D B A 第 19 题 第 20 题 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 D 解析 当垂直于直线l的两条直线与l共面时 两条直线平行 当这两条直线与l不 共面时 两条直线平行或相交或异面 2 D 解析 当将AD1平移至BC1 连接A1C1 A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角 在 A1BC1中 容易计算A1B BC1 5 A1C1 2 由余弦定理得 cos A1BC1 5 4 3 A 解析 当平面外两点的连线与此平面垂直时
7、 经过这两点与这个平面平行的平面不存 在 4 C 解析 依条件得EF 2 1 AC GH 2 1 AC EF GH 又EH 2 1 BD FG 2 1 BD EH FG AB BC EF EH AC与BD所成角的大小为 90 EF与EH所成角的大小为 90 四边形EFGH是正方形 5 B 解析 对于 A 满足条件的直线l可以与m n中一条相交 对于 C 若l与m n都不 相交 l分别与m n共面 l m l n m n 矛盾 对于 D 满足条件的直线 可以与m n都相交 6 A 解析 若设AC BD交于点O 连接C1O 则BD CO BD C1O COC1是二面角C1 BD C的平面角 tan
8、 COC1 BC CC1 3 3 COC1 30 7 C 解析 当A B两点在 同侧时 直线AB和平面 平行 当A B两点在 异 侧时 直线AB和平面 相交 8 B 解析 对于 A m n m n可以不垂直 对于 C m n m n 可以不垂直 对于 D m n m n 可以不垂直 9 A 解析 设A C B D 若AB CD共面 AC BD E F分别为AB CD的中点 EF AC 且EF AC EF 若AB CD为异面直线 则过点F做直线MN AB MN交 于M 交 于N 则 MC ND F为的MN中点 EF AM 且EF AM EF 10 A 解析 连接AB A B 于是 ABA 6 B
9、AB 4 设AB a A B acos 6 3 2 a BB acos 4 2 2 a A B 1 2 a AB A B 2 1 二 填空题二 填空题 11 60 解析 将展开图恢复为正方体时 点B D重合 AB CD AC三条面对角线构成等 边三角形 直线AB CD所成角的大小为 60 12 5 第 10 题 A B C A1 B1 C1 E F G 第 12 题 如图 取A1B1的中点G 连接FG EG FG 1 EG 2 EF 5 13 4 14 a 解析 如图过点A作AB OC 垂足为B 连接 A B 点A到直线OC距离是AB 依条件得 AA 2 3 a A O 2 1 a A B 4
10、 2 a AB 16 2 4 3 a 4 14 a 14 60 解析 依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为 1 侧面等腰三角形底边上的高 为 2 侧面与底面所成的二面角的余弦值是 2 1 侧面与底面所成的二面角的大小是 60 15 5 解析 依条件可知当a b 时 以上五种情况都有可能出现 因此五个结论 都有可能成立 三 解答题三 解答题 16 证明 1 AA1 AB AA1 AD 且AB AD A AA1 平面ABCD 又BD 平面ABCD AA1 BD 又AC BD AA1 AC A BD 平面ACC1A1 2 DD1 AA1 AA1 平面ACC1A1 DD1 平面ACC1A1 A B
11、 C O A 第 13 题 AB C A1B1 C1 P D D1 O 第 16 题 点P到平面ACC1A1的距离即为直线DD1到面ACC1A1的距离 也就是点D到平面AC C1A1的距离 设AC BD O 则DO的长度是点D到平面ACC1A1的距离 容易求出DO 2 2 a P到平面ACC1A1的距离为 2 2 a 17 证明 1 连接EO 四边形ABCD为正方形 O为AC的中点 E是PC的中点 OE是 APC的中位线 EO PA EO 平面BDE PA 平面BDE PA 平面BDE 2 PO 平面ABCD BD 平面ABCD PO BD 四边形ABCD是正方形 AC BD PO AC O
12、AC 平面PAC PO 平面PAC BD 平面PAC 18 1 证明 PD 平面ABCD BC 平面ABCD PD BC 由 BCD 90 得CD BC 又PD DC D PD DC 平面PCD BC 平面PCD PC 平面PCD 故PC BC 2 解 方法一 分别取AB PC的中点E F 连 DE DF 则易证DE CB DE 平面PBC 点D E到平面 PBC的距离相等 又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距 离的 2 倍 由 1 知 BC 平面PCD 平面PBC 平面PCD PD DC PF FC DF PC P O E C D B A 第 17 题 第 18 题 又 平面PB
13、C 平面PCD PC DF 平面PBC于F 易知DF 2 2 故点A到平面PBC的距离等于2 方法二 连接AC 设点A到平面PBC的距离为 h AB DC BCD 90 ABC 90 由AB 2 BC 1 得 ABC的面积S ABC 1 由PD 平面ABCD 及PD 1 得三棱锥P ABC的体 积 V 3 1 S ABC PD 3 1 PD 平面ABCD DC 平面ABCD PD DC 又 PD DC 1 PC 22 DCPD 2 由PC BC BC 1 得 PBC的面积S PBC 2 2 VA PBC VP ABC 3 1 S PBC h V 3 1 得h 2 故点A到平面PBC的距离等于2
14、 19 1 证明 AC BD 又BB1 平面ABCD 且AC 平面ABCD BB1 AC BD BB1 B AC 平面B1 D1DB 2 证明 由 1 知AC 平面B1D1DB BD1 平面B1D1DB AC BD1 A1D1 平面A1B1BA AB1 平面A1B1BA A1D1 AB1 又 A1B AB1且A1B A1D1于A1 AB1 平面A1D1B BD1 平面A1D1B BD1 AB1 又 AC AB1 A 第 18 题 BD1 平面ACB1 3 解 方法 1 CBBAACBB VV 11 3 1 1 2 1 1 1 6 1 方法 2 1 ACBB V 2 1 3 1 V正方体 6 1 20 1 证明 AB 平面BCD AB CD CD BC 且AB BC B CD 平面ABC 又 AC AE AD AF 0 1 不论 为何值 恒有EF CD EF 平面ABC EF 平面BEF 不论 为何值总有平面BEF 平面 ABC 2 解 由 1 知 BE EF 又平面BEF 平面ACD BE 平 面ACD BE AC BC CD 1 BCD 90 ADB 60 BD 2 AB 6 AC 7 由 ABC AEB 有AB2 AE AC 从而AE 7 6 AC AE 7 6 故当 7 6 时 平面BEF 平面ACD 第 20 题
