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1、第三章 直线与方程(1)直线的倾斜角定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率定义:倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时,; 当时,; 当时,不存在。过两点的直线的斜率公式: 注意下面四点:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。(
2、3)直线方程点斜式:直线斜率k,且过点注意:当直线的斜率为0时,k=0,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。斜截式:,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b两点式:()直线两点,截矩式:其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式:(A,B不全为0)注意:各式的适用范围 特殊的方程如:平行于x轴的直线:(b为常数); 平行于y轴的直线:(a为常数); (4)直线系方程:即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:(C为常数)(二)过
3、定点的直线系()斜率为k的直线系:,直线过定点;()过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中。(5)两直线平行与垂直当,时,;注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。(6)两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ; 方程组有无数解与重合(7)两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点则 (8)点到直线距离公式:一点到直线的距离(9)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。例1、在ABC中,已知A(5,2)、B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:(1)顶点C的坐标;(2)
4、直线MN的方程解:(1)设点C的坐标为(x,y),则有0,0,x5,y3.即点C的坐标为(5,3)(2)由题意知,M(0,),N(1,0),直线MN的方程为x1,即5x2y50.例2、已知两点A(1,2),B(m,3)(1)求直线AB的方程;(2)已知实数m1,1,求直线AB的倾斜角的取值范围解:(1)当m1时,直线AB的方程为x1,当m1时,直线AB的方程为y2(x1)(2)当m1时,;当m1时,m1,0)(0,k(,),)(,综合知,直线AB的倾斜角的取值范围为,例3、为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图所示),另外,AEF内部有一文物保护区不能占用,经测量AB100 m,BC80 m,AE30 m,AF20 m,应如何设计才能使草坪面积最大?解:建立如图所示直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),于是,线段EF的方程是1(0x30),在线段EF上取点P(m,n),作PQBC于点Q,PRCD于点R,设矩形PQCR的面积为S,则:S|PQ|PR|(100m)(80n),因为1,所以n20(1),所以S(100m)(8020m)(m5)2(0m30),于是,当m5时,S有最大值,这时.答:当草坪矩形的两边在BC,CD上,一个顶点在线段EF上,且这个顶点分EF成51时,草坪面积最大