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1、优选法与实验设计初步 摘要：根据中学数学课程标准要求，要求学生能初步的掌握一些优选的方法。本文介绍了0.618法，并证明其最佳性的数学依据；同时也介绍了分数法，对分法以及遇到多因素问题时的解决思想。关键词：优选法，0.618法，分数法一.引言在生产和科学实验中人们为了达到优质，高产，低消耗等目标需要对有关因素的最佳组合（简称最佳点）进行选择，关于最佳组合（最佳点）的选择问题，称 为优选问题。在实践中的许多情况下，实验结果与因素的关系，要么很难用数学形式来表达，要么表达式很复杂，优选法与实验设计是解决这类问题的常用数学方法，并在全国工业部门得到了广泛的应用，取得了可喜的成果。简单的说，优选法是合
2、理的安排实验的方法，实验以求迅速找到最佳点的数学方法。试验设计也是一种数学方法，一般说来，它是考虑在多因素的情况下安排实验的方法，它可以帮助人们通过较少的实验次数得到较好的因素组合，形成较好的设计方案。二.0.618法 优选的方法问题随处可见，简单的例子如：做两千克大米的干饭，应该放多少水？日常经验告诉我们：一千克水太少，两千克水太多，大约要比一千克多点的水吧。到底放多少水为好？选取最优放水量就是个优选问题。又如生产实践中的炼钢。我们知道，钢要用某种化学元素来加强起强度，太少不好，太多也不好。例如，碳太多了成为生铁，碳太少了成为熟铁，都不成钢材，每吨要加多少碳才能达到强度最高？那遇到这些问提具
3、体该怎么来做呢？首先介绍下在实践用到很广泛的一个方法0.618法数。下面就看做干饭放多少水这个问题。在这里，“好吃“很难表示成一个数学式子，虽然我们知道它与放水量密切相关，甚至可以认为”好吃的程度y“（在其他条件适当切不变的情形下）是放入水量x的“函数”：y=f(x)，但我们找不到f(x)的具体式子，因此传统的求极值的数学方法（微分法以及初等数学的一些方法）在这里失效。没有函数的表达式，能求函数的极值吗？ 实验！工业上长长这么做，我们天天做饭，无妨做一下：用两千克大米，把水量限制在1000克到2000克之间，为了精确其间，我们把区间分成1000份，即精度为一克，按照通常的方法（均分均试法，简称
4、均试法），我们需要在1001克，1002克，2000克处，各做一次实验，即用2千克大米，分别加水1001克，1002克。1999克，2000克各做一锅饭，然后逐一品尝，选出“最好吃”的一锅。这里，为了做“大米饭实验”，需要2吨米，要用1千只锅（当然，用100只锅，各做10次也行），浪费巨大的人力物力不说，品尝的人，每锅吃一口，1000口饭也会把人撑坏，难以品味了。可见，这样的实验，实际上是办不到的。 怎么办？一种方法是降低精度，以减少实验次数。比如，让精度为2克，则要实验500次，精度10克，要实验100次，精度50克，还要实验20次，每天一锅，要在20天内才能完成。人的口味在20天内会不会发
5、生变化？每次水差1两，误差又大，因此，实验的价值已大大降低。这样实验不行，应该怎么呢？美国有一位数学家吉弗，经过深思熟虑，设计了一种方法。我国知名数学家华罗庚，在60年代初遍览世界有关数学文献。寻找对国家科技和经济发展有应用价值的数学方法时，发现了吉弗的著作，家以完善和通俗化（称为优选法），介绍到我国。此法是这样的 做长为1000mm的纸条，以表示实验区间（1000,2000）,先在0.618的地方（即1618克）一道，然后把纸条对折（两端对齐），1618重合于1382（即0.382处）克图1(a),于是我们在1618和1382克做两个实验，品尝优劣如果1618克好，则裁去段；如果克好，则裁去
6、段现在假设1618克好，裁去段，纸条成为图1(b)表示的样子，再将纸条对折，1618克重合在 (克)处，于是对1764克做一个试验，品尝结果；与1618处比，还是1618克好，我们裁去段，纸条如图1(c)所示，再将它对折，1618克重于 图1（克）处，在1582克处做一个实验，与1618克相比这样可以一直继续下去现在，我们已做了4次实验，纸条剩下了（mm）中间还有个实验点，精度为克，在做两次实验，纸条剩下（mm）中间还有一个实验点，精度为克，上下只差1两水再一次实验，纸条剩下（mm），中间还有一实验点，精度为（克）当然还可做下去，如果把开始描述的方法成为均分均试法，刚描述的称为法，则可列表对比
7、如下：0.618法实验次数2591719效果剩余区间长（mm）6181462141.5精度（克）38290122.51相当的均分均试次数311844001000由表不难看出，如果精度要求在10克左右，那么做次实验即可（相当于均试法次），而为了达到精度1克，即均试实验1000次的效果，也只要19.现在，设实验区间为（a,，则0.618法要求第一个实验点安排在处，第二次实验点安排在处，这时，对比处结果，裁去坏点外边的部分，剩余区间长为：精度为，切每个实验点可按如下公式计算：剩余区间左端点剩余区间右端点留下实验点第n次实验留下区间长和精度分别为： 从上面的事例中我们看到0.618法的优越性，那么0.
8、618是从哪里来的？它的数学依据是什么呢？ 二黄金分割法最优性的初等数学证明首先将上述问题归结成以下数学形式：设y=f(x)是区间a,b上的一个函数，如有一点m属于a,b使 设f(x)是区间a,b上的一个单峰函数，问题在于，在实际问题中f(x)的表达式并不清楚，我们旨在找到一个适用于各种单峰函数的最佳安排实验的方法。根据单峰的特点，显然可用来回调试法缩短实验范围，减少实验次数，去找f(x)的好点m（图2）；先取一点 做试验得，再取一点做试验得，如果就去掉a, ;在留下的区间，b内取一点,做试验得,如果-就去掉；再在留下的区间内取一点做实验；不断做下去，就逐渐接近所要找的好点m. 图2问题在于，
9、怎样取实验点，才能做到通过尽可能少的试验找出好点？实际应用中，常采用对称来回调试法（折纸法），即选用新的试验点使其与留下的试验点在区间对称。这样一来，就归结为怎样取第一个实验点 效果最好？本文将介绍巧妙地用初等数学方法就可完满地给出答案。2 确定留下的实验范围首先来计算每次试验后留下的范围的长度。为了叙述方便，不妨把整个试验范围看成是区间0，1，并且假定每次比较后去掉的总归是右边的一段。 图（3）取为第一个试验点，用“折纸法”找出的对称点，做3次试验后留下范围的长度是；如此继续。如果，则做次试验后留下范围的长度为。再做下去应在范围中进行（图3）。如果，就会有再做次试验（总共做留下的范围的长度为
10、图（3）。一般的，如果（其中都是整数），那么从出发做次试验后留下范围的长度是，式（1）就是初等几何中的辗转相截。 如记，则有因此，从出发做次后留下的范围的长度是3 确定第一个试验点依式（1），可以把表示成下列形式换言之，可以把表示为下列连分数形式为节省篇幅，将连分数记成下述形式类似地有。（2）在式（2）中都是正整数，因而可以从起依次检查，找出其中一个不为一的数，设为，即这样就可以表示成记则由上节可知，如取（其中，正整数实数为第一试验点，做次试验后，留下范围的长度是，这里， 由此看来，要计算出应该了解下述连分数的性质：计算可得：，在这里我们引进斐波那契数列，则可以归纳出于是就有，令并将上述结论用
11、于可得这就是说，从（出发做次试验后留下范围的长度是 （3）因为，所以，因而可根据作另一连分数，由上述讨论可知，若取为第一个试验点，则同样做次试验后留下范围的长度是 （4）我们来比较一下（3）和（4），看那一个较短？因为正整数，因而，故有 即这个事实说明，同样做次实验，以为第一个试验点比以为第一个实验点留下的范围长度更段，由此看来，把拆成个1，取为第一个试验点效果更好。 如果要求折纸法一直可以做下去，也就是要求辗转相截（1）一直可以做下去，这就要无止尽的求出正整数同时相应地将都拆成1，即取为第一个试验点效果最好。 上述连分数的第m个渐近分数是，可以证明，当时，的极限为。这个无理数与几何中黄金分割
12、有关，通常称为黄金分割数，因此，上述最优试验方法称为黄金分割法 黄金分割数 为无理数，在实际应用中常取其近似数值。方法有二，其一，取=0.618033989的近似值，也就是上面讲的0.618法；其二；取的第个渐近分数，此种方法称为分数法。三分数法 下面就看下分数法是怎么做的。先看下面的分数串： 它的分子很分母都是斐波那契数列，如果我们的试验由于种种情况，只能做一定的次数，那末就可以用分数法来安排实验点。方法是：如预计做一次试验，就选第一个分数：把试验区间分成2等分，在唯一一点分点做实验，精度为；如果预计做5次试验，则选第五个分数；把试验区间分成13等分，在第8个分点处安排第一个试验，在8的对称
13、点5处 图4图4（a）安排第二个十月，比较8处与5处结果之优劣，如8好，则去掉a,5段，（如5好，去掉8，b，图4（b），剩下区间为5，b，8已试过，在8的对称点10处做试验，如还是8好，则去掉10，b段，剩下区间为5，10（图4（c），在8的对称点7处做第四个试验，如7比8好，去掉8，10段，剩下区间为5，8，在7的对称点6作第五个，也是预计的最后一个试验，如6比7好，则6为最佳点，即为试验获得的最佳点，精度为。一般地，预计作n个实验，则选第n个分数：把区间分为等分，在第个分点作第一试验，以后每次在对称点上做试验，边试边比，去掉坏掉之处的区间试验精度为。由于 等等。按分数法（边试边比）作14
14、次试验相当于均分均试法987次试验的精度，分数法作18次相当于均分均试6765次实验的精度。四对分法上面介绍的方法都已给你一个试验区间。在实践中我们还会遇到这样的问题，某一产品依靠某种贵重金属，知道采用16%的贵重金属生产出来的产品合乎要求。但是我们想，可否少些，更少些呢？使产品自然符合要求。这样来降低成本。 在这里我们就不用0。618法和分数法了，而用对分法。我们在对分点8%出做实验。如果8%仍然合格，我们就甩掉右边一半（不合格甩掉左边一半）。然后再在中点4处做试验，如果不合格，就甩掉右边一半。再在中点6%出做试验，如果合格，再在4%与6%之间的5%出做试验，仍然合格。留有余地，工厂里照6%的贵重金属进行生产。 这一方法在一些工厂都已用上了。五几点补充：一， 在实践中有时一批是可以做几个试验的。例如，一次可以做四个试验，怎么办？根据这一个特点，我们可以用以下方法：1 把区间平均分为五等份，在其中四个分点上做试验。2 比较这四个试验中哪个最好？留下最好的点及其左右。然后将留下来的再等分成六份。再在“”做试验。3 继续留下最好的点及其左右两份取间，再用同法，这样不断做下去，就能找到最优点。 这是某工厂的工人老师傅所建议的方法，实质上，可以证明，这是最好的方法但须注意，对于每批偶数个实验，这样均分是最好的。然而对于每批奇数个试验的情况，则就
