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1、对应学生书P257一、选择题1若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且满足PAPBPC1，则P到平面ABC的距离为()A.B.C.D.解析：由题意知ABBCAC.PABC为正三棱锥，P在ABC内射影为ABC中心O点OB2OP2PB2，又OBBC，OP.答案：D2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则直线A1B1到平面ABC1D1的距离d是()A. B.C. D.解析：A1B1平面ABC1D1，A1B1到平面ABC1D1的距离即为点B1到平面ABC1D1的距离，d.答案：B3(2020北京)若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到
2、底面ABCD的距离为()A. B1 C. D.解析：AB1，B1AB60，B1BA1A，直线A1C1与底面ABCD的距离即为A1A，故选D. 答案：D4(2020湖北八校)如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，O1是上底面A1B1C1D1的中点，若正方体的棱长为2，则O1到平面ABC1D1的距离为()A. B.C. D.解析：过A1点作A1EAD1，E为垂足，则A1E，即为点A1到平面ABC1D1的距离又O1为A1C1的中点，O1点到平面ABC1D1的距离为. 答案：C5如图，在正方体A1B1C1D1ABCD的侧面ABB1A1内有一点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的大
3、致形状是()A一条线段 B一段椭圆弧C一段抛物线 D一段圆弧解析：平面ABB1A1内的一点P到B1C1的距离就是到B1点的距离，则到AB的距离与到B1点的距离相等，从而可得P点的轨迹为以B1为焦点，以AB为准线的一段抛物线(如图)，故选C.答案：C6在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G(01)，则点G到平面D1EF的距离为 ()A. B. C. D.解析：A1B1EF，又EF平面D1EF，A1B1平面D1EF，G点到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离过A1点作A1HD1E于H点，易证A1H平面D1EF.
4、在RtEA1D1中，可求得A1H.答案：D7(2020全国)与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点()A有且只有1个 B有且只有2个C有且只有3个 D有无数个解析：如图，设P为线段AC1上任一点，过点P分别作棱AB、CC1、A1D1的垂线，垂足分别为E、F、G，过点P分别作面AB1、面BC1、面A1C1的垂线，垂足分别记为H、I、J.由正方体的对称性，易知RtPHERtPIFRtPJG，从而PEPFPC，即点P到棱AB、CC1、A1D1的距离相等又因为P为线段AC上任意一点，所以符合条件的点有无数个答案：D8(2020重庆)到两互相垂直的异面直线的
5、距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()A直线 B椭圆 C抛物线 D双曲线解析：在长方体ABCDA1B1C1D1中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD与D1C1是异面垂直的两条直线，过直线AD与D1C1平行的平面是面ABCD，设在平面ABCD内动点M(x，y)满足到直线AD与D1C1的距离相等，作MM1AD于M1，MNCD于N，NPD1C1于P，连接MP，易知MN平面CDD1C1，MPD1C1，则有MM1MP，|y|2x2a2(其中a是异面直线AD与D1C1间的距离)，即有y2x2a2，因此动点M的轨迹是双曲线答案：D二、填空题9(2020全国)已知菱形ABC
6、D中，AB2，A120，沿对角线BD将ABD折起，使二面角ABDC为120，则点A到BCD所在平面的距离等于_解析：由题意，可知h2sin30sin60.答案：10正三棱锥PABC的高为2，侧棱与底面ABC所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是_解析：设点O是点P在面ABC上的射影，则PO2，取BC的中点D，连接AD、PD，则ADBC，PDBC，PAO是侧棱PA与底面所成的角即PAO45，在RtPOA中，AO2，PA2.AD3，正三角形ABC的边长为2.面PAD面PBC，过A点作AEPD于E点则AE就是点A到平面PBC的距离在PAD中，PAADsin45PDAE，AE.答案：11多面体上，位
7、于同一条棱两端的顶点称为相邻的如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别是1,2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是3；4；5；6；7.以上结论正确的为_(写出所有正确结论的编号)解析：B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则DA1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；又BA1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；又DB的中点到平面的距离为，所以点C到平面的距离为3；又CA1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以填.答案：12(2020济宁模
8、拟)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且A1ADA1AB60，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是_解析：连接AC、BD交于点O，连接OO1，如图所示由题可得，cosA1ACcosBACcosA1ABcosA1ACcos45cos60cosA1ACA1AC45，A1A与平面BB1D1的距离等于A1到O1O的距离d，则d|A1O1|sinA1O1O|A1O1|sinA1ACsin45a. 答案：a三、解答题13(2020重庆)如图，和为平面，l，A，B，AB5，A，B在棱l上的射影分别为A，B，AA3，BB2.若二面角l的大小为，求：(1)点B
9、到平面的距离；(2)异面直线l与AB所成角的正弦值解析：(1)如图，过点B作直线BCAA且使BCAA，过点B作BDCB，交CB的延长线于点D.由已知AAl，可得DBl，又已知BBl，故l平面BBD，得BDl.又因BDCB，从而BD平面，BD之长即为点B到平面的距离因BCl且BBl，故BBC为二面角l的平面角由题意，BBC.因此在RtBBD中，BB2，BBDBBC，BDBBsinBBD.(2)连接AC、BC.因BCAA，BCAA，AAl，知AACB为矩形，故ACl.所以BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角在BBC中，BB2，BC3，BBC，则由余弦定理，得BC.因BD平面，且DCCA，由三垂
10、线定理，知ACBC.故在RtABC中，BCA，sinBAC.因此异面直线l与AB所成角的正弦值为.14(2020浙江五校联考)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动(1)证明：D1EA1D；(2)点E为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离解析：(1)方法一：AE平面AA1D1D，则A1DAE.又A1DAD1，A1D平面AED1，A1DD1E.方法二：ADAA1，A1ADD1为正方形，A1DAD1.又AE平面AD1，AD1为D1E在面AD1内的射影D1EA1D(2)设点E到平面ACD1的距离为h，在ACD1中，ACCD1，AD1，故SAD1C，而SACE
11、AEBC，VD1AECSAECDD1SAD1Ch，1h，h. 15如图所示，在四棱锥VABCD中，底面四边形ABCD是边长为4的菱形，并且BAD120，VA3，VA底面ABCD，O是AC、BD的交点，OEVC于E.求：(1)V到CD的距离；(2)异面直线VC与BD的距离；(3)点B到平面VCD的距离解析：(1)由已知BAD120，所以ADC60，ACD是正三角形，取CD的中点F，连接AF，VF，则CDAF.又VA面ABCD，CDVF(三垂线定理)VF为点V到CD的距离AD4，AF2，VF.(2)底面四边形ABCD是菱形，BDAC.又VA底面ABCD，VABD，BD面VAC，BDOE.由已知OEVC，OE是异面直线BD和VC的公垂线段由(1)可知OCAC2，VC5.CEOCAV，OE.(3)ABCD，AB面VCD，点B到平面VCD的距离就等于点A到平面VCD的距离过A作AHVF于H.由(1)知CD面VAF，CDAH，故AH面VCD.AH就是点A到面VCD的距离在RtVAF中，VA3，AF2，VF，VA2VHVF，VH，AH.故点B到平面VCD的距离为.
