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1、一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分把答案填在题中横线上)1在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于_解析：在ABC中，A180(BC)45，由正弦定理，得b4.答案：42在ABC中，已知(bc)(ca)(ab)456，则sinAsinBsinC_.解析：(bc)(ca)(ab)456，设bc4k，ca5k，ab6k(k0)，解得ak，bk，ck，sinAsinBsinCabc753.答案：7533三角形两边之差为2，夹角的余弦值为，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是_答案：5和74(2020年高考课标全国卷)在ABC中，D为BC边上一点，BC3BD，AD，ADB
2、135，若ACAB，则BD_.解析：如图，设ABk，则ACk.再设BDx，则DC2x.在ABD中，由余弦定理得k2x222xx222x.在ADC中，由余弦定理得2k24x2222x4x224x，k22x212x.由得x24x10，解得x2(负值舍去)答案：25在ABC中，a80，b100，A45，则此三角形解的情况是_解析：bsinA10050，bsinAab，有两解答案：有两解6已知ABC的三边a，b，c满足b2ac，PsinBcosB，则P的取值范围为_解析：由余弦定理知：b2a2c22accosB.又b2ac，aca2c22accosB，(12cosB)aca2c22ac，cosB，0B
3、，PsinBcosBsin(B)，0B，B，sinsin(B)1，sin(B)1，P的取值范围是(1，答案：(1，7若在测量中，某渠道斜坡的坡度i34，设为坡角，那么cos为_解析：由已知tan，则cos.答案：8等腰ABC中，一腰上的高为，这条高与底边的夹角为60，则这个三角形的外接圆半径等于_解析：由已知，得三角形的底角为30，腰长为2.R2.答案：29钝角三角形边长为a，a1，a2，其最大角不超过120，则a的取值范围是_答案：，3)10在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则acosCccosA的值为_解析：将a2RsinA，c2RsinC，代入acosCccosA2Rsi
4、nAcosC2RsinCcosA2Rsin(AC)2RsinBb.答案：b11如果满足ABC60，AC12，BCk的三角形恰有一个，那么k的取值范围是_解析：设ABx，由余弦定理得122x2k22kxcos60，化简得：x2kxk21440，因方程的两根之和x1x2k0，故方程有且只有一个根等价于k24(k2144)0或k21440，解得0k12或k8.答案：0k12或k812在ABC中，若C30，AC3，AB3，则ABC的面积为_解析：由正弦定理得：，sinBsinC，所以B60或120.当B60时，SABAC33；当B120时，SABACsin30.答案：或13在ABC中，若AB6，BC3
5、，AC5，则_.解析：由余弦定理，得cosABC，|cos(180ABC)63()10.答案：1014(2020年高考江苏卷)在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若6cos C，则的值是_解析：由6cos C，得b2a26abcos C.化简整理得2(a2b2)3c2，将切化弦，得.根据正、余弦定理得4.答案：4二、解答题(本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知三角形的三条边长分别为a2，b2，c，解此三角形解：由余弦定理的推论，得cosA，所以A45，cosB，所以B30，于是C1804530105.16(本小题满分1
6、4分)在ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C对边，a2，B45，面积SABC4.(1)求b；(2)求的值解：(1)由SacsinB4，即2csin454，所以c4.由余弦定理b2a2c22accosB20，所以b2.(2)由于b2，B45，所以 .根据正弦定理，由等比定理得.17(本小题满分14分)已知ABC中，cosA，且(a2)b(c2)123，试判断三角形的形状解：令k，则ak2，b2k，c3k2，又cosA，由cosA，得k0(舍去)或k4.此时，a6，b8，c10.c2a2b2，ABC为直角三角形18(本小题满分16分)ABC中，角A、B、C对应边分别为a、b、c.求证：.证明：
7、法一：由余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，得a2b2b2a22c(acosBbcosA)，即a2b2c(acosBbcosA)，变形得cosBcosA，由正弦定理得，.法二：cosBcosA，cosB，cosA，代入上式得.等式成立19(本小题满分16分)(2020年高考辽宁卷)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bc
8、cos A，故cos A，A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，故sin Bsin C.因为0B90，0C90，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形20(本小题满分16分)如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号在当时气象条件下，声波在水中的传播速率是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x分别表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01 km)解：(1)依题意，PAPB1.5812(km)，PCPB1.52030(km)因此PB(x12)km，PCPB30x1230(18x)km.在PAB中，AB20 km，cosPAB.同理，cosPAC，由于cosPABcosPAC，即，解得x(km)(2)如图所示，作PDa，垂足为D.在RtPDA中，PDPAcosAPDPAcosPABx17.71(km)即静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km.
