《高中数学全国希望杯竞赛模拟试题（七）（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学全国希望杯竞赛模拟试题（七）（通用）（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、题61 设直线都是平面直角坐标系中椭圆+=的切线，且，、交于点P，则点P的轨迹方程是 （第十二届高二培训题第47题） 解 设直线=与椭圆+=相切，则二次方程+，即有两个相等实根，其判别式，解得 因此斜率为的椭圆的切线有两条：，与其中每条垂直的切线也各有两条：；另有与轴垂直的切线两条：，与其中每条垂直的切线又各有两条： 由、得=，式即+得即又点都适合方程故点P的轨迹方程为 评析 这是一道典型的用交轨法求轨迹方程的问题解题的关键有两个：如何设两条动切线方程与如何消去参数当切线的斜率存在时，我们可设其方程为，此时出现两个参数与，由于此切线方程与椭圆的方程组成的方程组有且只有一解，故由二次方程有等根的
2、条件得（这与事实一致：斜率为的椭圆的切线应当有两条），从而切线方程为，那么与其垂直的椭圆的切线方程就是将此切线方程中的换成所得方程，即此时突破了第一关下面是否通过解方程组得交点轨迹的参数方程，然后再消参得所求轨迹方程呢？想象中就是非常繁琐的上面题解中的方法充分体现了消参的灵活性，大大简化了解题过程然而，事情到此并未结束，以上所设切线方程是以切线有斜率为前提的，是否有不存在斜率的椭圆的切线呢？于是引来了分类讨论，当然，此时只要将几个点的坐标代入所求的方程，看是否适合即可 拓展 如果留心，我们会发现所求轨迹方程中的10正好是已知椭圆方程+=中的7与3的和那么，是否将椭圆方程改为，则所求轨迹方程就是
3、了呢？经研究，果真如此于是我们得到 定理1 设直线、都是椭圆的切线，且，、交于点P，则点P的轨迹方程是证明设为椭圆的切线,由,得，由，得，所以，所以两垂直切线为， 另有四对：,式变为，式变为+得特殊四对垂线的交点坐标也都适合，故P点的轨迹方程为若将定理1中的椭圆改为双曲线，是否也有相类似的什么结论呢？为了证明定理2，先引进两个引理P(x0,y0)P1(x0,y1)yOx引理1 若双曲线的切线的斜率存在，则|证明 对于两边取的导数知双曲线上任意一点P（）处切线的斜率有|=|= ，又，代入得| 引理2 如果双曲线有，则不存在垂直切线证明 假设双曲线存在两条垂直切线，则这两条切线必然都存在斜率，斜率
4、分别记为，由引理1知|,|,即11,矛盾,所以不存在垂直切线定理2 设直线都是双曲线的切线，且，交于点P，则点P的轨迹方程为证明 当一条切线的斜率不存在时，该切线必然经过双曲线实轴上的顶点，这时另一条垂直切线不存在已知是垂直切线，所以斜率必然都存在 ,设为双曲线的切线，则由 得，由引理1知|，所以，所以且由中，得，两条垂直切线为 ,变形为 +得，即为点P的轨迹方程将定理1、2中的椭圆、双曲线改为抛物线，我们又可以得到定理3 抛物线的两条互相垂直的切线的交点M的轨迹方程为证明 当其中一条切线过抛物线顶点时，另一条垂直的切线不存在，已知是垂直切线，所以斜率必然都存在,设是的切线，则，由 得，令得，
5、故两条垂直的切线为 消去参数，得为点M的轨迹方程 将前面定理中的二次曲线改为圆，又得Oyx定理4 圆的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹方程是.证明 如图，易知四边形APBO1为正方形，所以|PO1|=，所以点P的轨迹是以O1为圆心，为半径的圆，其方程是比较定理1和定理4，我们不难知道圆是椭圆的特殊情形，当椭圆的长轴与短轴长相等时，椭圆变成了圆请运用上述定理完成下面的练习：1、设都是圆的切线，且，交于点P，求点P的轨迹与坐标轴在第一象限围成的面积2、设直线都是椭圆的切线，且，交于点P，求动点P到该椭圆的最近距离3、已知双曲线的一条切线，（1） 求的最小值；（2） 过点（1，1）是否有两条垂直的切
6、线？（3） 当=1，时，求与垂直的双曲线的切线答案：1. 2. 3.（1）1 （2）不存在 （3）和题62 已知曲线C上任意一点到定点A（1，0）与定直线的距离之和等于5.对于给定的点，在曲线上恰有三对不同的点关于点对称，求的取值范围. （第十二届高二第二试第23题）解法1 令为曲线C上任意一点，由题意得.故曲线C的方程为，即曲线C由两段抛物线和拼接而成.设关于点的对称点为，则有，由于和都是关于轴对称的，所以，当时，点与同在上或同在上，只有唯一的情形：与.当点与分别在,(或，)上时，不妨设在上，在上，则 ，即 ，解得 .因为，, 所以.但当时，得，则，这时只有一对对称点分别在与上，故应当排除，
7、因此当时，关于点对称的点对只有与，与是分别在，上的两点，于是为所求.yxNPQOSRTBM54解法2 设，由题意得，化简得为C的方程，其图象由两段抛物线拼接而成（如图）.由抛物线的对称性，可知时总有一对点位于同一段抛物线上且关于点B对称.若另有两对点关于点B对称，则每一对的两个点必分别位于两段抛物线上，故必存在曲线C的内接矩形PQRS，点B随着矩形形状的改变而在x轴上移动.设曲线C与x轴的右交点为M，则当Q、R趋近于M时，点B的横坐标趋近于.如图，设C的两抛物线交于点N、T，则当Q、R分别趋近于N、T时，点B的横坐标趋近于4.故为所求.评析 解决本题的关键有两步：一是求出曲线C的方程，二是求的
8、取值范围.解法1分两类情形，用代数方法求出了的范围，较抽象、繁琐；而解法2则从图象出发，直观地分析出问题的结果，显得简单易懂.解题过程中，我们不仅要学会常规思维，掌握解决问题的一般方法，更要注意抓住具体问题的特点，探寻解决问题的最佳方案，以不断提高我们的创新思维能力.题63 已知kR，关于x,y的方程y4+4y3+(2x+2kx-kx2)y2+8xy+(4kx2-2kx3)=0表示一组曲线，其中有一条是固定的抛物线，试讨论k值与曲线形状的关系.（第三届高二第二试第21题）解 因为当kR时，原方程表示的曲线组中有一条固定的抛物线，所以，不妨令k=0，先求出这条抛物线的方程：当k=0时，原方程化为
9、y4+4y3+2xy2+8xy=0 ，即，得y=0,y=-4,. 所以固定的抛物线的方程即.以去除原方程的左边，得，于是原方程化为=0，即.当时，得.讨论k，可知：当k=-1时，表示一个圆；当k=4时，表示两条直线；当k0但时，表示双曲线；综上，可得下表：k值0或4-1大于0但不等于4小于0但不等于-1原方程对应的图形两条直线及抛物线圆和抛物线双曲线和抛物线椭圆和抛物线评析 解决此题的关键是先求出固定抛物线的方程.既然已知方程对任意实数k所表示的一组曲线中都有一固定抛物线，故可用赋值法求得，但赋值并不是盲目的，若取k=1（够特殊的了），则原方程就是，以此求抛物线的方程，还是很困难的.可见赋值也
10、是很有讲究的.显然k=0时，原方程最为简单.因而也最易求出固定抛物线的方程.题64 已知点和直线，动点到的距离与到的距离之和为4.(1)求点的轨迹;(2)过A作倾斜角为的直线与交于，两点,设，求的解析式.（第十二届高二培训题第78题）解法1 （1）设动点，则，显然，解得.当时，;当时，.故是由两条抛物线相交围成的封闭曲线.(如图1)xyOABCDE图1(2)两条抛物线交于点，的斜率为，故当或时，直线与两条抛物线相交；当时，直线只与相交.前者可由交点坐标得，后者可由弦长公式得 .xyOABCDM图2PQN解法2 （1）设点的坐标为，则，化简后得的轨迹方程为及，故点的轨迹是两条抛物线相交围成的封闭
11、曲线. (2)画出点的轨迹，不难知道它是两条抛物线组（如图2），两条抛物线交于点，的斜率为. 当时，直线只与抛物线相交，利用弦长公式求得; 当时，分别过点、作轴、轴的平行线交于点，过作的垂线，垂足为，由题设条件知，而，所以，因为，所以.当时，由抛物线的对称性，只须把代入上式，得.综上所述, .解法3 （1）与解法2相同.（2）当时，同解法2.xyOABCDMPQN当时，点是这两条抛物线的公共焦点，分别是这两条抛物线的准线方程，过点，作它们各自抛物线准线的垂线，垂足为、.由抛物线的定义知，而，所以，,同理可得，故.当时，由抛物线的对称性，只须把代入上式，得.综上所述,.评析 第（1）小题求动点的
12、轨迹，这是解析几何中研究的两大主要问题之一，不过，本题中需要运用分类讨论的思想.对于第（2）小题求，解法1运用了方程思想；解法2把转化到直角三角形中去解决，大大减少了运算量；而解法 3则意识到点是两抛物线的公共焦点，运用抛物线的定义解题，更加直截了当.解法2、3都很巧妙.拓展 由本赛题答案可知轨迹为抛物线，为焦点,为焦点弦长.焦点弦长是一个十分重要的几何量，将其推广，可得定理 PQ是过圆锥曲线焦点F的弦，若PQ的倾斜角为,则.证明 由极径的几何意义及题设，可知，即 . 式用处较广，请看两例：例1 是经过双曲线右焦点的弦，若，则这样的可作多少条？（97年高中联赛）解 因为，所以，由已知及式，得，
13、解得.因为，所以有三个不同值，所以这样的弦可作3条.例2 、是椭圆的两个焦点，过作倾斜角为的弦，求的面积.（98年河北重庆高中竞赛）.解 因为，所以，.将它们代入式，解得.又知直线AB的方程为，它到点的距离，所以.题65 已知定点M（-3,0），P和Q分别是y轴及x轴上的动点，且使MPPQ，点N在直线PQ上，分有向线段的比为.（1） 求动点N的轨迹C的方程；（2） 过点T（-1,0）作直线与轨迹C交于两点A，B，问在x轴上是否存在一点D，使ABD为等边三角形；若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.（第十五届高二培训题第80题）解 （1）设点N的坐标为（x,y）及点P（0，y）, 点Q（x,
14、0）(x0).由已知，得x=3x,y=-2y,即，由MPPQ，得，故即为所求点N的轨迹C.xyOABNDPQMT（2）设：y=k(x+1)(k0)，代入，得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,由=2(k2-2)2-4k2k2=-16k2+160,得|k|1.设A（x1,y1）,B(x2,y2),则所以.AB的中点E的坐标为（）.假设存在点D（x0,0）使ABD为等边三角形，又边AB的中垂线方程为，由D在此中垂线上，得，.设d为D到直线l的距离，由正三角形的条件有，可得，故存在点D（，0），使ABD为等边三角形.评析 求动点N的轨迹方程，就是求动点N的坐标x, y在N运动变化过程中始终满足的关系式f(x, y)=0.一般应首先搞清楚引起N运动变化的因素是什么，此题中P、Q分别是y轴及x轴上的
