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1、最后冲刺【高考预测】1.数学归纳法 2.数列的极限3.函数的极限4.函数的连续性5.数学归纳法在数列中的应用6.数列的极限7.函数的极限8.函数的连续性易错点 1 数学归纳法1（2020精选模拟）已知a0,数列an满足a1=a,an+1=a+,n=1,2,.()已知数列an极限存在且大于零，求A=(将A用a表示)；()设bn=an-A,n=1,2,证明：bn+1=-()若|bn|, 对n=1,2都成立，求a的取值范围。【错误解答】 ()由，存在，且A=（A0）,对aa+1=a+两边取极限得，A=a+. 解得A=又A0, A=()由an+bn+A,an+1=a+得bn+1+A=a+.即对n=1,
2、2都成立。()对n=1,2,|bn|，则取n=1时，,得,解得。【错解分析】第问中以特值代替一般，而且不知bn数列的增减性，更不能以b1取代bn.【正确解答】 () ()同上。()令|b1|,得现证明当时，对n=1,2,都成立。(i)当n=1时结论成立（已验证）。2(2020精选模拟题)已知数列an中,a1=3,前n项和Sn满足条件Sn=6-2an+1.计算a2、a3、a4,然后猜想an的表达式。并证明你的结论。【错误解答】 当n2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=an.因为a1=3,所以a2=a1=,a3=a2=,a4=a3=由此猜想a
3、n=当n=1时，a1=3,结论成立；假设当n=k(k1)时结论成立，即ak=成立，则当n=k+1时，因为ak+1=ak，所以又a1=3,所以an是首项为3公比为的等比数列。由此得ak+1=3（）k+1-1=,这表明，当n=k+1时结论也成立。由、可知，猜想对任意nN*都成立。【错解分析】应由a1=S1=6-2a2,求得a2=,再由an+1=an(n2)求得a3=,a4=,进而由此猜想an=(nE*).用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设，而是根据等比列的通项公式求得ak+1=.这种证明不属于数学归纳法。【正确解答】 由a1=S1=6-2a2,a1=3,得a2=当n2时，an=Sn-Sn-1
4、=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1, a1=b(b0),an,n=2,3,4,.()证明：an，n=2,3,4,5,;()猜测数列an是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当nN时，对任意b0,都有an10=1024.取N=1024,有an.【错解分析】（1）在运用数学归纳证明时，第n-k+1步时，一定要运用归纳假设进行不等式放缩与转化，不能去拼凑。【正确解答】 （）证法1：当n2时，0an,于是有，所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n3时有，a1b,an10,n210=1024,故取N=1024，可使当nN时 ,都有an0)与直线l
5、:y=x相交于A1,作A1B1l交x轴于B1,作B1A2l交曲线C于A2依此类推。（1）求点A1、A2、A3和B1、B2、B3的坐标；答案： A1(1,1)、A2（+1, -1）、A3（+,-）、B1（2,0）、B2（2,0）、B3（2,0）（2）猜想An的坐标，并加以证明；答案： An(,证明略.（3）答案：设An(由题图：A1（1，1），B1（2，0） a1=1,b1=2且，分子分母乘以（）及3 设数列a1,a2,，an,的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1-ban-其中b是与n无关的常数，且b-1。（1）求an和an-1的关系式；由此猜想an=把a1=代入上式得an= （3）当0b0,
6、b0).()当a=b时，求数列un的前项n项和Sn。（）求。【错误解答】 （）当a+b时，rn=(n+1)an.Sn=2a+3a2+4a3+nan-1+(n+1)an.则aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1.两式相减：Sn=() =a.【错解分析】（）问运用错位相减时忽视a=1的情况。（）a=b是（）的条件，当ab时，极限显然不一定是a.【正确解答】 （）当a=b时，un=(n+1) an.这时数列un的前n项和Sn=2a+3a2+4a3+nan-1+(n+1)an.式两边同乘以a,得aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1 式减去式，得（1-a）Sn=
7、2a+a2+a3+an-(n+1)an+1若a1,(1-a)Sn=-(n+1)an+1+aSn=【特别提醒】1充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限C=C.(C为常数). =0.qn=0,|q|0,a1),设y4=17,y7=11.(1)求数列yn的前多少项最大，最大为多少？答案：由已知得，数列为关数列，y4=17,y7=11,公差d=的前12项最大，最大为144.（2）设bn=2yn,sn=b1+b2+bn,求的值。答案： bn=2yn,Sn=b1+b2+bn, bn为等比数列.且公比为q=,Sn=|1,=易错点 3 函数的极限1（2020精选模拟）若（）=1，则常数a,b的值为 （ ）
8、Aa=-2,b=4 Ba=2,b=-4Ca=-1,b=-4 Da=2,b=4【错误解答】 A =故能约去（1-x）, a=-2,b=4.【错解分析】（ax+a-b）中有在式（1-x）的求解中，注意a、b的符号。【正确解答】 C =故ax+a-b中必有因式（1-x），且极限为1。故a=-2,b=-4.2（2020精选模拟）若则 （ ）A-1 B1C- D 4（2020精选模拟）= （ ）A- B0 C D【错误解答】 B 当x-3,x+3=0,故=0。【错解分析】求函数极限时，分母为0的因式应约去才可代入。对诊下药A 【特别提醒】1求函数的极限时，如果xx0即x0是连续的点。即使函数f(x)有意
9、义的点，只需求f(x0)的值。就是函数的极限值。2当f(x)在x0处不连续时，即x=x0代入后使式子f(x)无意义，应考虑约去此因式，使之有意义时再求f(x0)的值，即为极限值。3已知函数的极限，求出函数中的系数时，应满足两个条件，即存在性与极限值同时考虑。【变式训练】1 设f(x)在x0处可导，f(x0)=0则nf(x0-)=_.答案：-f(x0) 解析：=2 ( )A. B. C.0 D.2答案： B解析：略3 已知=a,且函数y=aln2x+c在1，e上存在反函数，则 （ ）Ab(-，0)Bb(2e,+)Cb(-，0) (2e,+)Db(0，2e)答案： C解析：略4 设f(x)是x的三次多项式，已知=1，试求的值。（a为非零常数）.答案：解：由于可知f(2a)=0 同理f(4a)=0 可知f(x)必含有（x-2a）与（x-4a）有因式，由于f(x)是x的三次多项式，故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C),这里A、C均为选定的常数，由即即4a2A-2aCA=-1 同理，由于即8a2A-2Aca=1 由得C=3a,A=易错点 4 函数的连续性1（2020精选模拟）极限f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的 （ ）A
