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1、专题五化 斜 为 直 化 斜 为 直 通常在解直角三角形一章时用这种方法较多 即通过作垂线或平行线把斜三角形转化为直角三角形 通过解直角三角形达到解斜三角形的目的 其实化 斜 为 直 的方法还可以推而广之 用它来解决其他的数学问题也很有效 当然 化 斜 为 直 仍是转化思想的一种具体应用 因为我们平时储备的有关直角三角形知识和方法较多 通过作垂线或平行线 构造 出直角三角形 把我们相对不熟悉的问题转化为熟知的问题 这样做必然利于解题 安徽中考中这类试题几乎每年都能多次遇到 如2015年第18题 2016年第19题 第22题 2017年第6题 第17题等 类型1 类型2 类型3 解直角三角形中化
2、 斜 为 直 典例1如图 防洪大堤的横断面是梯形ABCD 其中AD BC 坡角 60 汛期来临前对其进行了加固 改造后的背水面坡角 45 若原坡长AB 20m 求改造后的坡长AE 结果保留根号 解析 过点A作AF BC于点F 在Rt ABF中求出AF 然后在Rt AEF中求出AE即可 类型1 类型2 类型3 名师点拨 解答本题的关键是过点A作AF BC于点F 从而把关于斜 ABE的问题转化为两个直角三角形 Rt ABF和Rt AEF 的问题 其实这种通过作垂线或平行线把斜三角形化成直角三角形的方法在解直角三角形问题中极为常见 注意学习体会 类型1 类型2 类型3 平面直角坐标系中化 斜 为 直
3、 典例2如图 二次函数y x2 bx c的图象经过A 3 0 B 0 3 两点 1 求b c的值 2 点P为二次函数y x2 bx c的图象在第一象限部分上的一动点 其横坐标为x 0 x 3 写出四边形OAPB的面积S关于点P的横坐标x的函数关系式 并求S的最大值 解析 1 用待定系数法求解 2 过点P作PC x轴于点C 过点P作PD y轴于点D 四边形AOBP转化为矩形CPDO和Rt BDP Rt APC 用关于x的式子表示出这三个图形的面积 即可求出四边形OAPB的面积S关于x的函数关系式 从而求出S的最大值 类型1 类型2 类型3 答案 1 将A 3 0 B 0 3 两点代入y x2 b
4、x c 得b 2 c 3 2 过点P作PC x轴于点C 过点P作PD y轴于点D 由 1 得二次函数解析式为y x2 2x 3 设P点坐标为 x x2 2x 3 则矩形CPDO的面积为x x2 2x 3 x3 2x2 3x 名师点拨 在平面直角坐标系中 通过作两个坐标轴的垂线 或平行线 把位置是 斜 的图形转化为位置 平直 的图形 在解题中可以实现事半功倍 类型1 类型2 类型3 其他几何问题中化 斜 为 直 典例3如图 正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1 l2 l3 l4上 这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1 h2 h3 h1 0 h2 0 h3 0 求证 h1 h3 解析
5、我们可以认为这里的正方形ABCD是 斜放 在一组平行线中 正因为 斜放 才给我们带来难度 我们通过 过点A作AF l3分别交l2 l3于点E F 过点C作CH l2分别交l2 l3于点H G 即可实现 化直 的目的 类型1 类型2 类型3 答案 过点A作AF l3分别交l2 l3于点E F 过点C作CH l2分别交l2 l3于点H G 四边形ABCD是正方形 l1 l2 l3 l4 AB CD ABE HBC 90 CH l2 BCH HBC 90 BCH ABE 同理 BCH CDG ABE CDG AEB CGD 90 ABE CDG AAS AE CG 即h1 h3 1 2 3 4 5
6、6 7 8 9 10 11 1 如图 要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯 路灯的灯臂CD长为2米 且与灯柱BC成120 角 路灯采用圆锥形灯罩 灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直 当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳 此时 路灯的灯柱BC高度应该设计为 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2018 四川绵阳 在平面直角坐标系中 以原点为对称中心 把点A 3 4 逆时针旋转90 得到点B 则点B的坐标为 A 4 3 B 4 3 C 3 4 D 3 4 解析 如图 由旋转的性质可得 AOC BOD OD OC BD
7、 AC 又 点A的坐标为 3 4 OD OC 3 BD AC 4 B点在第二象限 点B的坐标为 4 3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 如图 作FN AD 交AB于点N 交BE于点M 四边形ABCD是正方形 AB CD FN AD 四边形ANFD是平行四边形 D 90 四边形ANFD是矩形 AE 3DE 设DE a 则AE 3a AD AB CD FN 4a AN DF 2a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 如图 ABC纸片中 C 90 AC 3 BC 4 在 ABC纸片中剪取一个 DEF 使得
8、EDF 90 DE 2DF 且D E F分别在AB AC BC边上 则AD的长为 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 如图 等腰直角 DEF的斜边中点O与等腰直角 ABC的斜边的中点重合 D E两点分别在AB BC上 已知AB 4 AD 1 则 DEF的面积为 解析 连接CF 易证 AOD COF FCO A 45 FCE 90 DEB FEC 90 DEB BDE 90 BDE FEC 又DE EF Rt BDE Rt CEF BD EC AB 4 AD 1 BD 3 BE 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 如图 已知点O是矩形ABCD的对称中心
9、 另一与矩形ABCD全等的矩形EFGO的一个顶点与点O重合 从图1位置开始绕点O逆时针旋转 旋转角0 180 两矩形的边的两个交点为M N 已知AB 2BC 20cm 当两个矩形的重叠部分 OMN为等腰三角形时 则AM的长为cm 5或15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 如答图1 连接AC 过点O作OH AB于点H 则OH BC 5cm MN 2OH 10cm 又AM BN AM 5cm 如答图2 再过点O作OH MN于点H 作OQ AB于点Q 则OH MN 5cm 易得四边形OQMH为正方形 BM 5cm AM 15cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10、7 如图 在矩形ABCD中 AB 3 BC 4 动点M N同时分别从点A C出发向点B D匀速移动 且两点的移动速度相同 当点M移动到点B时 M N两点同时停止移动 过点N作NP CD交BD于点P 当 BMP为等腰三角形时 则AM的长为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 2018 湖北咸宁 如图 以 ABC的边AC为直径的 O恰为 ABC的外接圆 ABC的平分线交 O于点D 过点D作DE AC交BC的延长线于点E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 1 连接OD AC是 O的直径 ABC 90 BD平分 ABC ABD 45 AOD 90 DE AC ODE
11、AOD 90 DE是 O的切线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 如图 AB为 O的直径 l与 O相切与点C AC BC D为l上一点 连接BD交AC于点E BD AB 1 求证 AD AE 2 求的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 如图 一次函数y1 ax b分别与x轴 y轴交于A 2 0 B 0 2 两点 与反比例函数y2 x 0 的图象交于C D两点 已知AB 2CD 1 求一次函数y1 ax b和反比例函数y2 x 0 的表达式 2 试比较y1 y2的大小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12、 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 P为平行四边形ABCD内一点 分别连接PA PB PC PD 1 如图1 若PA AD DAP DCP 90 求 ABP的度数 2 如图2 设 PAB的面积 PBC的面积 PCD的面积 PAD的面积分别为S1 S2 S3 S4 求证 S1 S3 S2 S4 3 如图3 若 ABP ADP 求证 PAB PCB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 1 延长CP交AB于点E 四边形ABCD为平行四边形 易得 APE CBE BE EP 即 ABP 45 2 如图 过点P作AB的平行线分别交AD BC于点E 点F 作BC的
13、平行线分别交AB CD于点M N 易得四边形AMPE 四边形BMPF 四边形CNPF 四边形DNPE均为平行四边形 AMP PEA BMP PFB CPF PCN DNP PED S1 S APM S BPM S3 S DPN S CPN S2 S BPF S CPF S4 S APE S DPE S1 S3 S2 S4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 过点P作AB的平行线分别交AD BC于点E F 四边形ABCD是平行四边形 ABC ADC ABP ADP CBP CDP EPD PFB PED PFB DEP 又 AEP PFC AEP PFC PCB EPA PAB PAB PCB
