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1、2020年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）曲线方程及圆锥曲线的综合问题一【课标要求】1由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练； 2通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 3了解圆锥曲线的简单应用.二【命题走向】近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2020年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主. 1求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标
2、系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力； 2与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。预测2020年高考： 1出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题； 2可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问.三【要点精讲】1曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：步 骤含 义说 明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。(1) 所研究
3、的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简形式。要注意同解变形。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“
4、口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法.参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥
5、曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线Cf(x，y)=0与直线ly=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为： 若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围.（2）对称、存在性问题，与圆锥曲
6、线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等. 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是： （4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题.四【典例解析】题型1：求轨迹方程例1（1）一动圆
7、与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。解析：（1）（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，将圆方程分别配方得：， 当与相切时，有 当与相切时，有 将两式的两边分别相加，得，即 移项再两边分别平方得： 两边再平方得：，整理得，所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆.（法二）由解法一可得方程，由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，圆心轨迹方程为。（2）如图，设点坐标各为，在已知双曲线方程中，已知双曲线两焦点为，
8、存在，由三角形重心坐标公式有，即 。，。已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有即所求重心的轨迹方程为：。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法.例2(2020年广东卷文)（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点. (1)求椭圆G的方程 (2)求的面积 (3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.解（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. (2 )点的坐标为 （3）若，由可知点（6，0）在圆外， 若，由可知点（-6，0）在
9、圆外； 不论K为何值圆都不能包围椭圆G. 题型2：圆锥曲线中最值和范围问题例3（1）（2020辽宁卷理）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F(4,0), 于是由双曲线性质|PF|PF|2a4 而|PA|PF|AF|5 两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立.【答案】9 （2）（2020重庆卷文、理）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 【解析1】因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即设点由焦点半径公式，得则记得由椭圆的几何性质知，整理得解得，故椭圆
10、的离心率【解析2】 由解析1知由椭圆的定义知 ，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.【答案】 （3）（2020四川卷理）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）A.2 B.3 C. D. 【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。【解析1】直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。【解析2】如图，由题意可知【答案】A点评：由PAF成立的条件，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出这一关键结论.例4（1）（2020江苏卷）
11、（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。 （2）(2020山东卷文)（本小题满分14分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且
12、与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解（1）因为,所以, 即. 当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为, 所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
13、.(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1R2)相切于A1, 由（2）知, 即 ,因为与轨迹E只有一个公共点B1,由（2）知得,即有唯一解则=, 即, 由得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 由 中,所以, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.题型3：证明问题和对称问题例5（1）如图，椭圆1（ab0）与过点A（2，0）B(0,1
14、)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.()求椭圆方程；()设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：ATM=AFT。解 (1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 （2）（2020天津卷文）（本小题满分14分）已知椭圆（）的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且（求椭圆的离心率；（）直线AB的斜率；（）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值。解 （1）由，得,从而，整理得，故离心率（2）由（1）知，所以椭圆的方程可以写为设直线AB的方程为即由已知设则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得依题意，而，有题设知，点B为线段AE的中点，所以联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得.(3)由（2）知，当时，得A由已知得线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为
