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1、分类号分类号 编编 号号 毕业论文 题题 目目 学学 院院 姓姓 名名 专专 业业 学学 号号 研研究究类类型型 指指导导教教师师 提提交交日日期期 逆矩阵的推广和应用逆矩阵的推广和应用 天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000 摘摘 要要 本文首先总结和归纳了可逆矩阵的性质和几种常见的求法 最 后讲述了可逆矩阵在线性方程组和保密通信中的应用 同时例举了具体的应用 实例 关关键键词词 逆矩阵 矩阵 初等变换 线性方程组 通信 保密通信 Inverse matrix promotion and application Tutor ding wen mei School of Mat
2、hematics and Statistics Tianshui Normal University Tianshui 741000 China AbstractAbstract This paper firstly summarized and concluded the nature of the matrix and reversible several kind of common method and finally tells the story of reversible matrix in linear equations and secret communication an
3、d the application examples of specific application example KeyKey WordsWords inverse matrix matrix elementary transformation linear equations communication communication security 1 绪论 矩阵是数学中一个极其重要的 应用广泛的概念 是线性代数和代数学的 一个主要研究对象和重要工具 它广泛应用于数学 物理学 经济学等多个领域 因而也就使矩阵成为代数 特别是线性代数的一个主要研究对象 它主要讨论的是解线性方程组的理论问题
4、 线性变换的理论 旋转坐标轴 变换公式的矩阵表示 二次曲线一般方程的矩阵表示 国民经济中的调运方案 等问题 而可逆矩阵是矩阵理论中一个很重要的概念 也是极难理解的一部分 在矩阵理论中占有非常重要的地位 对可逆矩阵的研究自然也就成为高等代数 研究的主要内容之一 然而在很多线性代数教科书中逆矩阵的应用知识点几乎没 有涉及到 以至于很多学生错误的认为所学东西没有多大用处 为了可逆矩阵 在解决矩阵问题中起着很重要的作用 所学知识进一步形象认识而不是只停留 在抽象的概念结论的机械记忆上为了掌握逆矩阵的本质 因此 掌握可逆矩阵 的求法 在解决实际问题时选择适当的方法 往往可以起到事半功倍的效果 那 么可逆
5、矩阵的刻画及应用就显得非常重要了 然而在很多线性代数教科书中逆矩阵的应用知识点几乎没有涉及到 以至 于很多学生错误的认为所学东西没有多大用处 为了可逆矩阵在解决矩阵问题 中起着很重要的作用 所学知识进一步形象认识而不是只停留在抽象的概念结 论的机械记忆上为了掌握逆矩阵的本质 本文总结了逆矩阵的性质和几种常见的 求法 并且提供了实际应用例子及相关背景的例子 2 可逆矩阵 可逆矩阵是矩阵理论中一个很重要的概念 那么 对可逆矩阵的刻画就显得 非常重要 本章讨论可逆矩阵的性质及刻画 2 1 定义及性质 定义定义 1 1 若阶方阵的行列式不等于零 则称为非奇异矩阵非奇异矩阵 nAAA 定义定义 2 2
6、设是数域上的一个阶矩阵 如果存在一个阶矩阵 使得 1 AFnnB 单位矩阵 ABBAE 那么叫做一个可逆矩阵 或非奇异矩阵 而叫做的逆矩阵逆矩阵 ABA 定义定义 3 3 设是矩阵的行列式中元素的代数余子式 ij A 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa A ij a 矩阵 11121 21222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA 称为的伴随矩阵伴随矩阵 A 定义定义 4 4 在处理级数较高的矩阵时常用的方法 有时我们把一个大矩阵看成是由一 2 些小矩阵组成的 就如矩阵是由数组成的一样 特别在运算中 把这些小矩阵当作数一样来 处理 这就是
7、所谓矩阵的分块矩阵的分块 为了说明这个方法下面看一个例子 在矩阵 1 12 1000 00100 1210 1101 E A AE 中 表示 2 级单位矩阵 而 1 E 2 E 1 1200 0 1100 A 定理定理 2 1 12 1 1 设 都是同阶可逆矩阵 则和都是可逆矩阵 且AB 1 A AB 1 1 AA 1 11 ABB A 证明 因为 都是可逆矩阵 所以存在 使得AB 1 A 1 B 11 AAA AE 11 BBB BE 由即知是可逆矩阵 且即为的逆矩阵 即 1 A AE 1 A A 1 A 1 1 AA 由于 11111 ABB AA BBAAAE 故也是可逆矩阵 且为的逆矩
8、阵 即 AB 11 B A AB 1 11 ABB A 用数学归纳法容易证明 个同阶可逆矩阵的乘积仍是可逆m 12 m A AA 12m A AA 矩阵 且 1 1 1221mm A AAAA A 定理定理 2 1 22 1 2 设为阶可逆矩阵 如果 3 An 及中有一个矩阵的每一行 列 的所有元素之和均为同一常数 则另外两A 1 A A 个矩阵的每一行 列 的所有元素之和也均为同一常数 证明 不妨设矩阵的每一行的所有元素之和均为常数 下证及的每一行Ak 1 A A 所有元素之和也均为同一常数 记 则 于是是的一个特 1 1 1 T Ak kA 征值 又由于是可逆矩阵 所以 在式两边左乘得 即
9、A0k A AkA 亦即的每一行所有元素之和均为常数 在式两边左乘得 A A k A A k 1 A 即 亦即的每一行所有元素之和均为常数 1 kA 1 1 A k 1 A 1 k 类似可证另外两种情形 注 当阶方阵不可逆时 及也有类似共性 下面给出结论 1 和结论 2 作为定nAA A 理 1 的补充 结论结论 1 1 设为阶方阵 如果及中有一个矩阵的每一行 列 的所有元素之和AnA A 均为同一非零常数 则另一个矩阵的每一行 列 的所有元素之和也均为同一非零常数 类似定理 1 的证明 可证得结论 1 成立 结论结论 2 2 设为阶方阵 如果的每一行 列 的所有元素之和均为同一常数 则AnA
10、 的每一行 列 的所有元素之和也均为同一常数 A 证明 不妨设方阵的每一行的所有元素之和均为常数 Ak 1 当时 由结论 1 知结论 2 成立 0k 2 当时 记 则 即是的一个特征值 所以0k 1 1 1 T 0Ak 0A 不可逆 如果的秩 则由的定义知 则的每一行所有元AA 2r An A 0A A 素之和均为常数 如果的秩 由于 所以齐次方程组的全0A 1r An 0A 0AX 部解是 其中为任意常数 又因为 所以的每个列向量Xc c 0AAA E A 都是的解 从而有 所以的每一行所 1 2 j jn 0AX 1 2 jj kjn A 有元素之和均为同一常数 值得注意的是 当的每一行
11、列 的所有元素之和均为常数时 不能得到的每 A0A 一行 列 的所有元素之和也均为同一常数 例如 对于 有 显然 111 222 333 A 0A 的每一行的所有元素之和均为常数 但的每一行的所有元素之和并不是同一常数 A0A 2 22 2 可逆矩阵的刻画可逆矩阵的刻画 定理定理 2 2 12 2 1 阶矩阵为可逆的充要条件是是非奇异矩阵 且n ij Aa A 111 1 1 1 n nnn AA A A AA 其中是中元素的代数余子式 矩阵称为矩阵的伴随矩阵 ij AA ij a 111 1 n nnn AA AA A 记作 于是有 A 1 1 AA A 引理引理 1 1 设对阶方阵施行一次
12、初等变换后得到矩阵 那么是可逆矩阵当且仅nAAA 当是可逆矩阵 A 证明 我们只就行初等变换来证明这个引理 列初等变换的情形可以完全类似地证明 设是通过施行一次行初等变换而得到的 那么存在一个对应的初等矩阵 使AAQ 得 AQA 由于初等矩阵是可逆的 上式说明 当是可逆矩阵时 是两个可逆矩阵的乘QAA 积 由定理 2 1 1 即知也是可逆矩阵 另一方面 用的逆矩阵左乘上式的两端 AQ 1 Q 得 11 Q AQ QAEAA 由于也是可逆矩阵 所以当是可逆矩阵时 是两个可逆矩阵的乘积 从而是 1 Q AA 可逆矩阵 定理定理 2 2 22 2 2 阶矩阵为可逆的充分必要条件是它可以通过初等变换化
13、为单位矩阵 nA 定理定理 2 2 32 2 3 阶矩阵为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积 nA 12m AQQQ 例 1 设及都可逆 证明也可逆 并求其逆矩阵 AAB 11 AB 证明 1111111111 ABA EEBA BBA ABAAB B 由于 可逆则 也可逆也可逆 即可逆 AB 1 A 1 B 11 AAB B 11 AB 11 1 1111 ABAAB BB ABA 推论推论 两个矩阵 等价的充分必要条件为 存在可逆的阶矩阵与可sn ABsP 逆的阶矩阵使 nQAPBQ 定理定理 2 2 42 2 4 阶矩阵为可逆的充分必要条件是是可逆矩阵 nA A 证明 必要性
14、 设可逆 则 因为 A 0A AAA AA E 所以 因此可逆 且 11 A AAAE AA A 1 1 AA A 充分性 设可逆 如果 那么 于是 即 A0A 0AAA E 1 0A AA 所以 与可逆矛盾 0A 0A A 故 因此可逆 0A A 定理定理 2 2 52 2 5 阶矩阵可逆的列向量组线性无关的行向量组线性无关 nA A A 例 2 设有向量组 已知能由它们线性表示 证明 1 n n F 1 n n F 线性无关 1 n 证明 设以为列向量作矩阵 以为列向量作矩阵 1 n 1 n A 1 n 由可由线性表示可知 1 n E 1 n 1 n 可逆 r Ar En r AnA r
15、An 因此 的列向量组线性无关 A 1 n 定理 2 2 62 2 6 阶矩阵可逆齐次线性方程组只有零解有唯nA 0AX AXb 一解 例 3 已知线性无关 证明 3 12 3 F 112223331 可逆 123 B 证明 设 记作 即 123 A BAK 123123 101 110 011 设 则 由的列向量组线性无关可知 0BX 0A KX A0KX 又因 可知 只有零解 即 20K 0KX 0X 故可逆 B 2 32 3 可逆矩阵的求法可逆矩阵的求法 2 3 1 定义法 例 4 设方阵满足方阵 证明 都可逆 并求它们A 2 3100AAE A4AE 的逆矩阵 证明 由 得 即 2 3
16、100AAE 2 3100AAE 1 3 10 AAEE 故可逆 且 再由 得A 1 1 3 10 AAE 2 3100AAE 即 46AEAEE 1 4 6 AEAEE 故可逆 且 4AE 11 4 6 AEAE 2 3 2 公式法 例 5 判断矩阵 是否可逆 若可逆 求出 123 221 343 A A 1 A 解 因为 所以可逆 又20A A 111213 212223 313233 2 3 2 6 6 2 4 5 2 AAA AAA AAA 所以 由定理 2 2 1 可知 1 132 264 1135 3653 222 222 111 AA A 2 3 3 初等变换法 定义定义 5 5 一个矩阵的行 列 初等变换是指对矩阵施行的下列变换 1 交换矩阵的某两行 列 2 用一个非零的数乘矩阵的某一行 列 即用一个非零的数乘矩阵的某一行 列 的每一个元素 3 给矩阵的某一行 列 乘以一个数后加到另一行 列 上 即用某一个数乘矩阵 某一行 列 的每一个元素后加到另一行 列 的对应元素上 定义定义 6 6 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 E 初等行变换 1 如果阶矩阵可
