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1、毕业论文（设计）题 目： 拉格朗日中值定理的一些应用姓 名： 学 号： 教 学 院： 数学与计算机科学学院专业班级：数学与应用数学专业2008级本2班指导教师： 完成时间： 2012 年 4 月 10 日 毕节学院教务处制拉格朗日中值定理的一些应用作者姓名： 专业班级：数学与应用数学 摘 要：本文主要论述拉格朗日中值定理在基础理论、函数极限计算、不等式证明、恒等式证明、根的存在性的判别以及其他方面等的应用.通过构造函数并结合极限理论和不等式的知识给出证明,并给出实例进行说明.关键词：拉格朗日中值定理 洛尔定理 柯西中值定理 连续 lSeveral application of Lagrange
2、s mean value theorem Candidate:Zhang dao fangMajor:Mathematics and applied mathematics grade 2008class 2Student No.: 04310801015 Advisor: Liu taoAbstract：This paper mainly discusses the Lagrange mean value theorem in the basic theory, computing function limit, inequality proof, identity, existence o
3、f roots of discrimination and other aspects of the application. Through the constructor and the combination of the limit theory and inequality of knowledge has been given, and gives examples to illustrateKey words: Lagranges mean value theorem; Esmolol theorem; Cauchy mean value theorem; Continuous目
4、 录引言11.预备知识11.1拉格朗日中值定理11.2拉格朗日中值定理的几何意义11.4拉格朗日中值定理的推广12.拉格朗日中值定理的一些应用22.1拉格朗日中值定理在基础理论中的应用22.2拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用32.2拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用42.4 利用拉格朗日中值定理证明恒等式.52.5利用拉格朗日中值定理判别根的存在性62.6拉格朗日中值定理在其他方面的应用73.小 结84.致 谢10l引言拉格朗日中值定理是微分学最重要的定理之一,又称为微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数局部性研究函数整体性的重要工具.利用微分中值定理可用巧妙地解决
5、一些问题,下面将论述拉格朗日中值定理在几个方面的应用.1.预备知识1.1拉格朗日中值定理若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可导.则在内至少存在一点,使得成立.定理的结论也可变形为.1.2拉格朗日中值定理的几何意义若闭区间内有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点,过点的切线平行于过点的直线.1.3 拉格朗日中值定理和洛尔定理洛尔定理：若函数满足如下条件：(1)在闭区间上连续,(2)在开区间上可导,(3)则在内至少存在一点,使得.通过比较可知洛尔定理是拉格朗日中值定理的当时的特殊形式.1.4拉格朗日中值定理的推广1.4.1柯西中值定理柯西中值定理是拉格
6、朗日中值定理的推广,而拉格朗日中值定理是柯西中值定理中时的特殊情况. 柯西中值定理：若函数与满足下列条件: (1) 在闭区间上连续, (2) 在开区间上可导,且对,有,则在内至少存在一点,使得 1.4.2泰勒定理若函数在区间上存在直到阶的连续导数,在内存在阶导数,则对任意给定的,至少存在一点,使得 其中2.拉格朗日中值定理的一些应用2.1拉格朗日中值定理在基础理论中的应用2.1.1函数为常数的判别法：如果在区间内,则在内为一常数. 证明：在内任取两点和,设,则在上函数满足拉格朗日中值定理,从而有 ,介于与之间.因为,特别有,故,即.这个等式对内任取两点和都成立,说明在内为一常数.2.1.2 单
7、调性判别：设函数在内内恒有,则在内是递增的. 证明：在内任取两点和,设,则在上函数满足拉格朗日中值定理,从而有,介于与之间.又由已知条件推得,于是.这表明,即函数是增函数.2.1.3 导数的极限：若函数在闭区间上连续,在内可导,且导数的极限： （*）存在（也可为）,则在点的函数的导数存在且等于, 证明：取（使）,计算.作比,取极限,当时,由（*）式得 依定义有.2.1.4 曲线凸性判别法: 设函数在内恒有,则曲线在该区间内是凸向下的.证明：设是内任意的一点,则曲线过点的切线方程为 在内任取两点不同于的一点,则依定义需要证明,为此我们来考虑这个差值 （介于与之间） （介于与之间）(*)如此借助于
8、中值定理所获得的等式(*),就把关于曲线凸向下的研究,即关于差符号的研究转化为对于函数的二阶导数符号的研究.由此可证所述.小结：拉格朗日中值定理在上述基础理论中的应用非常广泛,所以有必要对其应用加以理解和重视.2.2拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用2.2.1求分析：此极限满足“”型,可用罗必达法则求解,但是用罗必达法则则须求很多次导数之比,非常麻烦,通过观察此极限发现它是“”型,只须令函数,则在区间上满足拉格朗日中值定理条件,解：,由于在上连续, 所以从而有依定义有.2.1.4 曲线凸性判别法: 设函数在内恒有,则曲线在该区间内是凸向下的.证明：设是内任意的一点,则曲线过点的切线方程为
9、在内任取两点不同于的一点,则依定义需要证明,为此我们来考虑这个差值 （介于与之间） （介于与之间）(*)如此借助于中值定理所获得的等式(*),就把关于曲线凸向下的研究,即关于差符号的研究转化为对于函数的二阶导数符号的研究.由此可证所述.小结：拉格朗日中值定理在上述基础理论中的应用非常广泛,所以有必要对其应用加以理解和重视.2.2拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用2.2.1求分析：此极限满足“”型,可用罗必达法则求解,但是用罗必达法则则须求很多次导数之比,非常麻烦,通过观察此极限发现它是“”型,只须令函数,则在区间上满足拉格朗日中值定理条件,解：,由于在上连续, 所以从而有分析：通过观察发现
10、此不等式为“”型.令,则在区间和上满足拉格朗日中值定理的条件.证明：,由于,则可知,即小结:在证明不等式时,出现“”和“”的形式,并且在和上满足拉格朗日中值定理条件,则可以将不等式根据拉格朗日中值定理进行变换在证明；若在不等式的两边出现“”型,另一边出现“”型,则可将不等式变形为含“”型.若同时在和上满足拉格朗日中值定理条件,则利用拉格朗日中值定理条件进行证明.若只出现“”型，则构造“”型.2.4 利用拉格朗日中值定理证明恒等式.例.证明等式：证明：设,则在（-1,1）内恒有 于是在（-1,1）内. 又因为,所以,即于是在（-1,1）内恒有.又由于,从而在-1,1内恒有小结：在证明恒等式时,若
11、等式中出现：“”或“”的形式时,均可考虑运用拉格朗日中值定理进行证明.2.5利用拉格朗日中值定理判别根的存在性2.5.1 证明：若方程有正根,则方程必存在小于的正根. 证明：令,则可知且在上连续,根据拉格朗日中值定理（或罗尔定理）可知,至少存在一个有,且,则可知方程至少存在一个根,且,故证毕.2.5.2 方程在区间内没有两个不同的根.证明：运用反证法,假设在区间内有两个相同的根,且.令,则在区间上连续, 则有在区间上满足拉格朗日中值定理（或罗尔定理）的条件,则有存在使得即存在使得.而即,解得,又.则假设不成立,故原命题得证.小结：在讨论函数根的存在性问题时,可利用函数与其导数之间的关系,借助拉
12、格朗日中值定理（或罗尔定理）判别某些函数根的存在性.当需要判别某个函数的导函数在某个区间是否有根时,若此函数在该区间上连续,则看该函数在这个区间上是否有两个或者有两个以上的点的函数值相等.若存在, 则其导函数在该区间有根；若不存在,则其导函数在该区间无根.当需要判别某个函数在某个区间上是否有根时,则看起导数在该区间上是否存在导数值为零的点.若存在使其导函数值为零的点,则原来的函数可能有根; 若不存在使其导函数值为零的点,则原来的函数一定不存在根. 这不是一个充要条件,说明利用拉格朗日中值定理判别根有局限性.2.6拉格朗日中值定理在其他方面的应用2.6.1 证明的方法例：设函数在0,1是上连续,
13、在上可导,有,且存在.使得.证明一定存,使得 证明：作辅助函数,由于, ,有在上连续,根据闭区间上连续函数根的存在性定理可知,存在,使得,于是函数在区间上连续,在内可导且,此即.小结：证明存在一点,使得的证明方法有如下几种：1、作辅助函数,验证在上满足洛尔定理的条件,由定理的结论就得到了命题的证明；2、应用拉格朗日中值定理, 证等式的一边化为,另一边转化为,这样也就证明了命题.使待2.6.2 证明存在和满足某种关系式的方法.例：设函数在上连续,在内可导,且,证明：存在,使得. 证明：作辅助函数,则在上连续,在内可导,且,故由洛尔定理知,使得,此即 从而 令得小结：证明存在和满足某种关系式的方法
14、是：1、或者用两次拉格朗日中值定理；2、或者用一次拉格朗日中值定理和一次洛尔定理；3、或者用两次柯西中值定理；4、或者用一次拉格朗日中值定理和一次柯西中值定理.在证明中药对待证等式进行证明,让后将待证等式中的或变为,再根据待证等式就可以做出辅助函数了.2.6.3 中值不等式例：设函数在上连续, 在内可导,且，证明：若不恒为常数,则在内至少存在一点,使得.证明：因为且不恒为常数,所以至少存在一点,使得,于是或不妨设,则在上应用拉格朗日中值定理可知,至少存在一点,使得小结：证明中值不等式的方法与上述证明等式的方法相似，此处不再一一说明.3.小 结本文从数学分析中常用的几个方面概述了拉格朗日中值定理的应用,以便读者更好的理解拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理的应用时一个庞大的研究课题,加上我自身理论、能力方面的欠缺.所以本文中还有很多的不足和无法涉及的内容
